正态方差的90%置信区间求解：已知μ时a₁、a₂的确定（n=10）

看起来你已经把置信区间的概率条件梳理得很清晰了，卡在了后续的分布推导环节对吧？咱们一步步来搞定它：

核心分布性质回顾 #

首先要明确一个关键的统计结论：对于独立同分布的正态变量 $X_1,\dots,X_n \sim N(\mu,\sigma^2)$，无论$\mu$是否已知，统计量 $\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}{\sigma2}$ 都服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布，即：
$$\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2}{\sigma2} \sim \chi^2(n-1)$$
本题中 $n=10$，所以对应的自由度是 $9$。

从你的推导继续推进 #

你已经把置信区间的概率条件整理成了：
$$ \Bbb P \biggl (a_2\sigma^2<\sum_{i=1}{10} (X_i- \bar X)^2<a_1\sigma2 \biggl)=0.90$$
我们把式子每一项都除以 $\sigma^2$，就能转化为卡方分布的概率表达：
$$\Bbb P\left( a_2 < \frac{\sum_{i=1}^{10} (X_i - \bar{X})^2}{\sigma2} < a_1 \right) = 0.90$$

确定分位数取值 #

因为置信水平是90%，所以我们需要把卡方分布的两侧尾部概率各设为 $\alpha/2=0.05$（这样中间的置信区间概率刚好是0.90）：

• 对于上侧分位数 $\chi^2_{0.05}(9)$：表示 $\Bbb P(\chi^2(9) > \chi^2_{0.05}(9)) = 0.05$
• 对于下侧分位数 $\chi^2_{0.95}(9)$：表示 $\Bbb P(\chi^2(9) < \chi^2_{0.95}(9)) = 0.05$（也就是 $\Bbb P(\chi^2(9) > \chi^2_{0.95}(9)) = 0.95$）

所以我们可以得到：
$$a_1 = \chi^2_{0.05}(9), \quad a_2 = \chi^2_{0.95}(9)$$

具体数值计算 #

查卡方分布表或者用统计工具计算可得：

• $\chi^2_{0.05}(9) = 16.919$
• $\chi^2_{0.95}(9) = 3.325$

把数值代回去验证，刚好满足：
$$\Bbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{10} (X_i - \bar{X})^2}{16.919} < \sigma^2 < \frac{\sum_{i=1}^{10} (X_i - \bar{X})^2}{3.325} \right) = 0.90$$

另外补充一下：你之前提到的 $\sum_{i=1}^{10} (X_i- \bar X)^2 = \sum_{i=1}^{10} X_i^2-10\bar X^2$ 这个代数变形是完全正确的，但在这个问题里不需要用到它，直接借助卡方分布的性质就能完成推导啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者glowstonetrees