允许非正交归一特征向量基的算子，其特征向量是否必属该基？

你提到的两个问题本质是同一个：拥有非正交归一特征向量基的算子，是否所有特征向量都必须是这个基里的元素？ 先直接给结论：答案是否定的，这类算子完全存在不属于给定特征向量基的特征向量，你的初始判断不对哦。

举几个直观的例子 #

1. 恒等算子的极端情况

在任意希尔伯特空间$X$中，恒等算子$I: X \to X$满足$Ix = x$对所有$x \in X$成立——也就是说，每一个非零向量都是它的特征向量。

现在取一组非正交归一的特征向量基${e_j}{j=0}^\infty$（比如把标准正交基做简单线性变换：$e_j = e_j^\text{std} + e{j+1}^\text{std}$，只要保证这组向量线性无关且闭张成全空间就行）。那比如$x = e_0 + e_1$，它显然是特征向量（$Ix = x$），但它并不是${e_j}$里的任何一个元素，这就直接推翻了“所有特征向量都属于基”的结论。

2. 多特征值的可对角化算子

假设算子$A$有两个不同的特征值$\lambda_1 \neq \lambda_2$，对应的特征空间分别是$V_1$和$V_2$，且$X = V_1 \oplus V_2$（希尔伯特空间的直和）。取$V_1$的一组非正交基${e_1, e_2}$，$V_2$的一组非正交基${e_3, e_4}$，那么${e_1,e_2,e_3,e_4}$就是$A$的特征向量基。

但$x = e_1 + e_2$是$V_1$中的向量，满足$Ax = \lambda_1 x$，是特征向量，但它显然不在${e_1,e_2,e_3,e_4}$这个基里。

为什么会有误解？ #

你提到“谱定理不适用于非正交归一基”，这点是对的，但谱定理的适用范围和特征向量的归属是两回事。可能你混淆了“特征向量基”的定义：特征向量基只是张成全空间的一组线性无关的特征向量，但每个特征值对应的特征空间是一个子空间（维数可能≥1），子空间里的所有非零向量都是特征向量，远多于基里的那几个元素。

哪怕是每个特征值几何重数为1的单谱算子，特征向量也只是基向量的标量倍数——比如基向量是$e_j$，那$2e_j$也是特征向量，但它不在基里，严格来说也不属于${e_j}$这个集合。

总结 #

• 拥有非正交归一特征向量基的算子，必然存在不属于该基的特征向量；
• 特征向量基只是特征空间的一组“代表”，特征空间本身包含无穷多特征向量，远超出基的范围。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JMJ