给定n×n矩阵A，确定矩阵B使L为R^{n×n}到自身的线性变换

咱们直接拆解这个问题：要找到n×n矩阵B，让映射 L(X) = A(B + BX) + X^tB（其中X是任意n×n实矩阵，上标t表示转置）成为$\mathbb{R}^{n×n}$到自身的线性变换。线性变换的核心要求就是可加性（$L(X+Y)=L(X)+L(Y)$）和齐次性（$L(aX)=aL(X)$），咱们一步步推导验证。

推导B需满足的条件 #

首先从齐次性条件入手，这是最容易揪出约束的地方：

计算$L(aX)$（a为任意实数）：

L(aX) = A(B + B(aX)) + (aX)^tB = A(B + aBX) + aX^tB = AB + aABX + aX^tB

再计算$aL(X)$：

aL(X) = a\left[A(B + BX) + X^tB\right] = aAB + aABX + aX^tB

要让这两个式子对任意a和X都相等，把它们相减化简后会得到：

AB = aAB

这个等式要对任意实数a都成立，只有当$AB = 0$（零矩阵）的时候才行——如果AB不是零矩阵，取a=0时左边是AB，右边是0，直接矛盾。所以B必须满足的核心条件就是：$AB = 0$

验证线性变换 #

当B满足$AB=0$时，我们来严格验证线性变换的两个要求：

1. 可加性验证 #

对任意$X,Y \in \mathbb{R}^{n×n}$，

\begin{align*}
L(X+Y) &= A(B + B(X+Y)) + (X+Y)^tB \\
&= A(B + BX + BY) + X^tB + Y^tB \\
&= AB + ABX + ABY + X^tB + Y^tB
\end{align*}

因为$AB=0$，代入后就变成：

L(X+Y) = ABX + ABY + X^tB + Y^tB = (ABX + X^tB) + (ABY + Y^tB) = L(X) + L(Y)

可加性成立。

2. 齐次性验证 #

对任意实数a和$X \in \mathbb{R}^{n×n}$，

\begin{align*}
L(aX) &= A(B + B(aX)) + (aX)^tB \\
&= A(B + aBX) + aX^tB \\
&= AB + aABX + aX^tB
\end{align*}

同样因为$AB=0$，代入后：

L(aX) = aABX + aX^tB = a(ABX + X^tB) = aL(X)

齐次性成立。

结论 #

当且仅当n×n矩阵B满足$AB = 0$时，映射$L(X)$是$\mathbb{R}^{n×n}$到自身的线性变换。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Inverse Problem