正测度开集内是否存在正测度闭子集的测论问题

答案是否定的——存在这样的测度ψ和开集A（满足ψ(A)>0），但A中找不到任何闭子集B使得ψ(B)>0。这类测度属于非正则测度，而像Lebesgue测度这样的正则测度确实满足原问题的结论，但并非所有测度都具备正则性。

我们可以构造一个简单的反例来验证：

• 设定拓扑空间：取X = [0,1]，定义特殊拓扑：所有不包含点1的子集都是开集，同时X本身也是开集（空集自然是开集）。在这个拓扑下，闭集只能是空集，或者所有包含点1的子集（因为闭集是开集的补集，开集的补集要么包含1，要么是空集）。
• 定义测度ψ：对于任意子集E⊆X，ψ(E) = 1 当且仅当 [0,1)⊆E，否则ψ(E)=0。容易验证这个测度满足σ可加性：
  • 若一列不交集合的并包含[0,1)，则其中必有一个集合包含[0,1)，此时测度和为1，等于并集的测度；
  • 若所有集合都不包含[0,1)，则它们的并也不包含，测度和为0，等于并集的测度。
• 观察开集A：取A = [0,1)，它是开集（因为不包含1），且ψ(A)=1>0。但A中的闭子集只能是空集（因为任何非空闭集都必须包含1，而1不在A中），ψ(∅)=0。因此A中不存在满足ψ(B)>0的闭子集B。

这就直接说明了原问题的答案是否定的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Daniel Li