Pólya–Szegő不等式的推广：p=1情形下的相关问询

咱们来梳理这个关于Pólya–Szegő不等式在$p=1$时的推广问题：

已知背景铺垫 #

给定 $d \in \mathbb{N}, 1\leq p \leq \infty$，且 $f \in C^{\infty}_0 (\mathbb{R}^d)$。目前我们已经知道：

• 存在形如 $g(x)=g_0(|x|)$ 的函数（这里 $g_0:[0, \infty) \to \mathbb{R}$ 是非增函数）；
• 这个函数$g$满足两个关键条件：
  • $L^{p$范数相等：$|f|_{L}{p} (\mathbb{R}^d)}=|g|_{L{p} (\mathbb{R}^d)}$；
  • 梯度的$L^p$范数满足不等式：$|\nabla f|{L^{p} (\mathbb{R}^d)} \geq|\nabla g|{L^{p} (\mathbb{R}^d)}$。

其中最具代表性的例子就是对称递减重排 $g=f^$，对应的不等式 $|\nabla f|_{L^{p} (\mathbb{R}^d)} \geq|\nabla f^*|_{L{p} (\mathbb{R}^d)}$ 被称为Pólya–Szegő不等式*。

p=1时的推广疑问 #

现在我们把目光锁定在 $p=1$ 的场景，提出如下问题：
设 $K \subset \mathbb{R}^d$ 是非空紧集，且其Lebesgue测度 $|K|=0$，是否存在函数 $h$ 满足以下全部条件？

• $h$ 是关于到$K$的距离的径向非增函数：$h(x)=h_0(d(x,K))$，其中 $h_0:[0, \infty) \to \mathbb{R}$ 为非增函数；
• $L^{1$范数与原函数$f$相等：$|f|_{L}{1} (\mathbb{R}^d)}=|h|_{L{1} (\mathbb{R}^d)}$；
• 梯度的$L^1$范数满足不等式：$|\nabla f|{L^{1} (\mathbb{R}^d)} \geq|\nabla h|{L^{1} (\mathbb{R}^d)}$？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user527246