求证：若f(n)=2n²+10n+15为素数，则f(n)≡7(mod 36)

咱们来一步步拆解这个猜想，先提前说个小例外：当$n=-3$时，$f(n)=3$（计算一下：$2*(-3)^2 +10*(-3)+15=18-30+15=3$），这是个素数，但$3\not\equiv7\pmod{36}$。不过除了这个特殊情况外，其他让$f(n)$成为素数的$n$都满足猜想的结论，下面是详细推导：

首先，36可以拆成$4×9$，而且4和9互质，根据中国剩余定理，只要我们能证明：

• $f(n)\equiv7\pmod{4}$
• $f(n)\equiv7\pmod{9}$
  就能直接推出$f(n)\equiv7\pmod{36}$。

第一步：先确认$n$的模3约束（你已经做了部分推导） #

要让$f(n)$是素数，$n$不能是$0$或$1$模3：

• 如果$n\equiv0\pmod{3}$，代入得$f(n)=20 +100 +15\equiv0\pmod{3}$，此时$f(n)$是3的倍数，只有当$f(n)=3$时是素数（也就是刚才说的$n=-3$的情况），更大的$n$会让$f(n)$远大于3，必然是合数；
• 如果$n\equiv1\pmod{3}$，代入得$f(n)=21^2 +101 +15=2+10+15=27\equiv0\pmod{3}$，同样是3的倍数，且27本身就是合数，更大的$n$对应的$f(n)$也会是大于3的3的倍数，肯定是合数；

所以只有当$n\equiv2\pmod{3}$时，$f(n)$才有可能是大于3的素数，这是我们后续推导的前提条件。

第二步：证明$f(n)\equiv7\pmod{4}$ #

先把$f(n)$简化到模4的形式：$10\equiv2\pmod{4}$，$15\equiv3\pmod{4}$，所以$f(n)\equiv2n^2+2n+3\pmod{4}$。
现在分情况看：

• 如果$n$是偶数（$n\equiv0$或$2\pmod{4}$）：$n^{2$是偶数，$2n}2\equiv0\pmod{4}$，$2n\equiv0\pmod{4}$，所以整体$\equiv0+0+3=3\pmod{4}$，而$7\equiv3\pmod{4}$，所以等价；
• 如果$n$是奇数（$n\equiv1$或$3\pmod{4}$）：$n^{2\equiv1\pmod{4}$，$2n}2\equiv2\pmod{4}$，$2n\equiv2\pmod{4}$，所以整体$\equiv2+2+3=7\pmod{4}$，直接符合。

不管$n$是奇是偶，都能得到$f(n)\equiv7\pmod{4}$。

第三步：证明$f(n)\equiv7\pmod{9}$ #

既然我们已经知道$n\equiv2\pmod{3}$，那可以设$n=3k+2$（$k$是整数），代入$f(n)$展开计算：
$$
\begin{align*}
f(n)&=2*(3k+2)^2 +10*(3k+2)+15\
&=2*(9k^2+12k+4)+30k+20+15\
&=18k^2+24k+8+30k+35\
&=18k^2+54k+43
\end{align*}
$$
现在看模9的结果：$18k^2\equiv0\pmod{9}$，$54k\equiv0\pmod{9}$，$43\div9=4$余7，所以$43\equiv7\pmod{9}$，整体就有$f(n)\equiv0+0+7=7\pmod{9}$。

最后整合结论 #

因为$f(n)$同时满足$f(n)\equiv7\pmod{4}$和$f(n)\equiv7\pmod{9}$，而4和9互质，根据中国剩余定理，必然有$f(n)\equiv7\pmod{36}$。

再验证几个实际例子：

• $n=-4$：$f(n)=7$，$7\equiv7\pmod{36}$，符合；
• $n=-2$：$f(n)=7$，符合；
• $n=8$：$f(n)=2*64+80+15=223$，$223\div36=6$余7，符合，且223是素数；
• $n=11$：$f(n)=2*121+110+15=367$，$367\div36=10$余7，符合，367也是素数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者fic19292