关于递推序列$x_{n+1}=x_{n}^{n+1}+x_{n}+1$的渐近性证明求助

首先，我们已经知道数列$(x_n)_{n\geq1}$发散到正无穷，这是后续推导的核心基础。接下来的关键思路是聚焦递推式的主导项，通过不等式夹逼、对数转化，结合单调有界收敛定理来锁定数列的增长阶。

步骤1：锁定大n时的主导项 #

当n足够大时，$x_n$会远大于1（比如即使初始$x_1=0.5$，$x_3≈8.1$也已经大于2），此时递推式里的$x_n + 1$和$x_n^{n+1}$相比完全可以忽略，但为了严谨，我们先给出严格的不等式估计：
对于n≥3，因为$x_n>2$，所以$x_n + 1 < 2x_n < x_n^2 < x_n^{n+1}$（毕竟n+1≥4>2），因此：

$x_n^{n+1} < x_{n+1} < 2x_n^{n+1}$

步骤2：对数转化适配阶数增长 #

对上述不等式两边取自然对数，得到：

$(n+1)\ln x_n < \ln x_{n+1} < \ln2 + (n+1)\ln x_n$

为了匹配$n!$的增长速度，我们构造新数列$z_n = \frac{\ln x_n}{n!}$，将不等式两边除以$(n+1)! = (n+1)n!$，整理后得到：

$z_n < z_{n+1} < z_n + \frac{\ln2}{(n+1)!}$

步骤3：证明$z_n$收敛 #

从这个不等式可以观察到两个关键性质：

• $z_n$是严格递增数列（因为$z_{n+1} > z_n$）；
• $z_n$有上界：对于任意k≥3，$z_k - z_3 = \sum_{i=3}^{k-1}(z_{i+1}-z_i) < \sum_{i=3}^{k-1}\frac{\ln2}{(i+1)!} = \ln2\sum_{m=4}^{k\frac{1}{m!}$，而级数$\sum_{m=1}}\infty\frac{1}{m!}=e$是收敛的，所以这个和式的上限是$\ln2(e - 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{6}) = \ln2(e - \frac{8}{3})$，是个有限常数。

根据单调有界收敛定理，$z_n$必定收敛到某个常数c，即：

$\lim_{n\to\infty}\frac{\ln x_n}{n!} = c$

步骤4：推导最终结论 #

将上式变形为$\ln x_n \sim c\cdot n!$（n→∞），两边取指数得$x_n \sim e^{c\cdot n!} = (e^c){n!}$。令$a = e^c$，显然a>0（非零实数），因此：

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x_{n}}{a^{n!}}=1$

这样就完成了证明。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Anne Marrie