求频率函数的F(3)与F(1/λ)值——放射性原子寿命问题

别担心，我来一步步帮你理清楚怎么计算这两个值，其实核心是先搞懂累积分布函数的定义，再代入计算就很简单啦～

首先，先明确**累积分布函数F(x)**的本质：它表示随机变量ξ小于等于x的概率，数学定义是：
$$F(x) = P(\xi \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$$

题目里给的概率密度函数f(x)是分段的：
$$f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&x>0\ 0&x < 0\end{cases}$$

我们分情况推导F(x)的表达式：

• 当x ≤ 0时，积分区间是从-∞到x，而f(t)在t<0时全为0，所以这部分积分结果是0，即F(x)=0
• 当x > 0时，积分可以拆成两部分：从-∞到0的积分（结果为0）加上从0到x的积分，也就是：
  $$F(x) = \int_{0}^{x} \lambda e^{-\lambda t} dt$$

接下来计算这个定积分：
我们知道$\lambda e^{-\lambda t}$的不定积分是$-e^{-\lambda t} + C$，代入上下限0和x：
$$F(x) = \left. -e^{-\lambda t} \right|_{0}^{x} = -e^{-\lambda x} - (-e^{0}) = 1 - e^{-\lambda x}$$

有了F(x)的通用表达式，现在就可以计算题目要求的两个值了：

1. 计算F(3) #

因为3>0，直接代入上面的表达式：
$$F(3) = 1 - e^{-\lambda \times 3} = 1 - e^{-3\lambda}$$
这就是题目给出的正确答案。

2. 计算F(1/λ) #

同样代入x=1/λ：
$$F\left(\frac{1}{\lambda}\right) = 1 - e^{-\lambda \times \frac{1}{\lambda}} = 1 - e^{-1}$$
我们知道$e^{-1} \approx 0.3679$，所以$1 - 0.3679 \approx 0.63$（保留两位小数的结果），和题目里的答案一致。

你之前误以为要积分到∞，其实不用哦～积分到∞是概率密度的归一性验证（结果为1），但累积分布函数是求到x的概率，所以积分上限是题目给的3和1/λ就可以啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Elias