测度论问询：开集内等测度闭集及正测度闭子集的存在性

第一个问题：开集A满足ψ(A)>0，是否一定存在闭集B⊆A使得ψ(B)=ψ(A)？ #

答案是不一定，我们可以构造一个直观的反例：

考虑实数集ℝ，定义测度ψ为「ℚ上的计数测度」——也就是对任意集合E⊆ℝ，ψ(E)等于E中有理数的个数（若无限则记为∞）。

取开集A=(0,1)，显然ψ(A)=∞（因为(0,1)内有可数无限个有理数）。但对于A中的任意闭集B⊆(0,1)，B作为ℝ中的闭集，最多是形如[α,β]（0<α<β<1）的区间或更复杂的闭集，但B中的有理数只是(0,1)内有理数的子集，且B是闭集，所以B∩ℚ是可数集（基数为ℵ₀），因此ψ(B)=ℵ₀ < ∞=ψ(A)。

本质上，这个测度不满足内正则性（对开集而言，测度无法通过内部闭子集的测度取上确界得到），所以会出现这种情况。

第二个延伸问题：开集A满足ψ(A)>0，是否一定存在闭集B⊆A使得ψ(B)>0？ #

这个问题的答案同样是不一定，不过需要更抽象的反例（依赖选择公理）：

考虑实数集ℝ上的一个自由超滤子ℱ（自由超滤子指不包含任何有限集的超滤子，其存在性由选择公理保证），定义0-1测度ψ：对任意E⊆ℝ，ψ(E)=1当且仅当E∈ℱ，否则ψ(E)=0。

取开集A=(0,1)，假设A∈ℱ（我们可以构造这样的超滤子：让它包含所有形如(0,1)\F的集合，其中F是有限集，再扩展为超滤子），那么ψ(A)=1>0。但对于A中的任意闭集B⊆(0,1)，B的补集(ℝ\B)包含(-∞,0]∪[1,+∞)∪((0,1)\B)，其中(0,1)\B是开集且非空（B是(0,1)内的闭集，不可能等于(0,1)本身），所以(ℝ\B)是包含无限集的集合。而自由超滤子ℱ不会包含任何有界闭集（因为有界闭集的补集是无限的，超滤子中若包含B则不能包含其补集，但我们构造的超滤子优先包含补集为有界闭集的集合），因此B∉ℱ，即ψ(B)=0。

当然，如果我们限制测度是正则测度（同时满足内正则和外正则，比如Lebesgue测度），那么对于正测度开集A，一定存在正测度的闭子集B⊆A——比如取A的闭包内的紧子集（在ℝ中就是闭区间），其测度可以任意接近ψ(A)，自然存在正测度的闭子集。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Daniel Li