求证$\mathbb{Z}[x]/(9x^2+1)$存在非极大素理想

我来帮你一步步拆解这个环论问题：

• 首先，根据同构（对应）定理，商环$\mathbb{Z}[x]/(9x^{2+1)$中的每一个素理想，都和$\mathbb{Z}[x]$里包含理想$(9x}2+1)$的素理想一一对应。这是环论里理想对应关系的核心结论，商环的理想完全由原环中包含被除理想的理想决定。
• 接下来，$\mathbb{Z}[x]$是唯一分解整环（UFD），而UFD有个关键性质：不可约元生成的理想就是素理想。这里$9x^{2+1$在$\mathbb{Z}[x]$中是不可约的——你没法把它拆成两个次数更低的整系数多项式的乘积，所以它是不可约元，由此可知理想$(9x}2+1)$是$\mathbb{Z}[x]$中的素理想，这也是$\mathbb{Z}[x]$里包含自身的素理想。
• 但要注意，这个理想并非极大理想。我们可以找个例子验证：理想$(3, 9x^{2+1)$就严格包含$(9x}2+1)$，计算商环$\mathbb{Z}[x]/(3,9x^{2+1)$的话，它同构于$(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})[x]/(x}2+1)$。因为$x^{2+1$在$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$中不可约，所以这个商环是域，说明$(3,9x}2+1)$是极大理想，这就反过来证明了$(9x^2+1)$不是极大理想。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者PaulDavis