正向单位圆周上线积分的求解及格林公式应用疑问

嘿，这个问题其实不用死磕格林公式得到的那个棘手的二重积分，换个参数化结合三角函数周期性的思路就能轻松解决，我来一步步给你捋清楚：

步骤1：参数化单位圆周 #

正向单位圆周 ( C ) 可以用参数方程表示为：
[ x = \cos\theta,\quad y = \sin\theta,\quad \theta \in [0, 2\pi] ]
对应的微分：
[ dx = -\sin\theta d\theta,\quad dy = \cos\theta d\theta ]

步骤2：代入线积分并化简 #

把参数和微分代入原积分，先化简指数和三角函数部分：

• 指数部分：( x^2 - y^2 = \cos^2\theta - \sin^2\theta = \cos2\theta )
• 三角函数里的变量：( 2xy = 2\cos\theta\sin\theta = \sin2\theta )

代入后原积分转化为：
[
\int_0^{2\pi} e^{\cos2\theta} \left[ \cos(\sin2\theta) \cdot (-\sin\theta) + \sin(\sin2\theta) \cdot \cos\theta \right] d\theta
]

步骤3：利用正弦差公式合并项 #

观察括号里的部分，正好符合正弦差公式 ( \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B )，令 ( A = \sin2\theta )，( B = \theta )，则：
[ \cos\theta \sin(\sin2\theta) - \sin\theta \cos(\sin2\theta) = \sin(\sin2\theta - \theta) ]
积分简化为：
[
\int_0^{2\pi} e^{\cos2\theta} \sin(\sin2\theta - \theta) d\theta
]

步骤4：变量替换与周期性抵消 #

令 ( u = 2\theta )，则 ( \theta = \frac{u}{2} )，( d\theta = \frac{du}{2} )，积分上下限变为 ( 0 \to 4\pi )，积分变为：
[
\frac{1}{2} \int_0^{4\pi} e^{\cos u} \sin\left(\sin u - \frac{u}{2}\right) du
]

把这个积分拆成 ( [0, 2\pi] ) 和 ( [2\pi, 4\pi] ) 两部分：

• 第一部分 ( I_1 = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} e^{\cos u} \sin\left(\sin u - \frac{u}{2}\right) du )
• 第二部分 ( I_2 = \frac{1}{2} \int_{2\pi}^{4\pi} e^{\cos u} \sin\left(\sin u - \frac{u}{2}\right) du )

对 ( I_2 ) 做变量替换 ( u = 2\pi + v )，则 ( \cos u = \cos(2\pi+v) = \cos v )，( \sin u = \sin(2\pi+v) = \sin v )，且：
[
\sin\left(\sin u - \frac{u}{2}\right) = \sin\left(\sin v - \frac{2\pi+v}{2}\right) = \sin\left(\sin v - \frac{v}{2} - \pi\right) = -\sin\left(\sin v - \frac{v}{2}\right)
]

代入后 ( I_2 = -\frac{1}{2} \int_0^{2\pi} e^{\cos v} \sin\left(\sin v - \frac{v}{2}\right) dv = -I_1 )

因此 ( I_1 + I_2 = 0 )，原线积分的结果就是 0。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Don Fanucci