复分析证明题：证明单位圆盘内解析函数f(z)=g(z)

问题陈述 #

设$f(z)$和$g(z)$是单位圆盘$D={z\in \mathbb{C}:|z|<1}$内的两个解析函数，满足：

• $(i) f(0)=g(0)$；
• $(ii)$ 对任意$z\in D$，等式$$e^{f(z)}=e{g(z)}$$成立。

证明：对任意$z\in D$，$f(z)=g(z)$。

我的现有思路 #

令$F(z)=f(z)-g(z)$，则$e^{F(z)}=e{f(z)}-e^{g(z)}=e{f(z)-g(z)}=e^{0}=1$。我知道需要用到柯西-黎曼方程，但不清楚后续步骤。

解答思路修正与完整证明 #

其实你构造$F(z)=f(z)-g(z)$的方向完全正确，不过这里有个小笔误：**不是$e^{F(z)}=e{f(z)}-e^{{g(z)}$**，正确的推导是：由$e}{f(z)}=e^{{g(z)}$，两边同时除以$e}{g(z)}$（复指数函数在全平面都不为0，所以除法合法），得到$e^{{f(z)-g(z)}=1$，也就是$e}{F(z)}=1$。

接下来分两种路径完成证明，你可以参考：

路径一：利用解析函数的连续性与连通性 #

1. 首先，$f(z)$和$g(z)$在$D$内解析，所以它们的差$F(z)=f(z)-g(z)$也是$D$内的解析函数（解析函数的线性组合仍解析），而解析函数必然是连续函数。
2. 根据复指数函数的性质：$e^w=1$当且仅当$w=2k\pi i$，其中$k$是整数。因此对每个$z\in D$，$F(z)=2k_z\pi i$，这里$k_z$是依赖于$z$的整数。
3. 由于$D$是连通区域（单位圆盘是连通的），连续函数$F(z)$在连通区域上不能跳跃取不同的整数值（整数集是离散的），所以$k_z$必须是一个固定的整数$k$，即$F(z)=2k\pi i$对所有$z\in D$成立。
4. 结合初始条件$f(0)=g(0)$，可得$F(0)=0$，代入上式得$0=2k\pi i$，因此$k=0$。最终$F(z)\equiv0$，即$f(z)=g(z)$对所有$z\in D$成立。

路径二：利用解析函数的导数（关联柯西-黎曼方程） #

如果你想用到柯西-黎曼方程，可以通过导数的角度推导：

1. 对$e^{{F(z)}=1$两边关于$z$求导，根据复合函数求导法则，左边为$F'(z)e}{F(z)}$，右边导数为0。
2. 因为$e^{{F(z)}=1\neq0$，所以可以两边除以$e}{F(z)}$，得到$F'(z)=0$对所有$z\in D$成立。
3. 解析函数的导数为0，意味着它的实部和虚部的偏导数都为0（这就是柯西-黎曼方程的延伸：解析函数的导数$F'(z)=u_x+iv_x=v_y-iu_y$，若导数为0则所有偏导数为0）。
4. 在连通区域$D$内，偏导数全为0的连续函数是常数，结合$F(0)=0$，可知$F(z)\equiv0$，即$f(z)=g(z)$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者HAC