极坐标方程转直角坐标方程：求解r=sin(3θ)的转换方法

没问题，我来一步步帮你完成这个转换，咱们从你已经展开的步骤继续往下走：

已知条件 #

• 极坐标原方程：$$r=\sin(3\theta)$$
• 极坐标与直角坐标的转换关系：$$y=r\sin(\theta),_{x=r\cos(\theta),}r^2=x2+y^2$$

前期展开（你已经完成的步骤） #

首先利用三角恒等式展开$\sin(3\theta)$：

1. 用和角公式$\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$拆分：
   $$ r=\sin (2\theta) \cos (\theta) +\sin (\theta) \cos (2\theta) $$
2. 代入二倍角公式$\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta$、$\cos(2\theta)=1-2\sin^2\theta$：
   $$ r=2\sin (\theta) \cos ^2 (\theta) +\sin (\theta) (1-2\sin ^2 (\theta)) $$
3. 展开并整理右边的项：
   $$r=2\sin (\theta) \cos ^2 (\theta) +\sin (\theta)-2\sin^3(\theta)$$

代入直角坐标转换关系 #

接下来咱们代入$\sin(\theta)=\frac{y}{r}$和$\cos(\theta)=\frac{x}{r}$：
$$r=2\cdot\frac{y}{r}\cdot\left(\frac{x}{r}\right)^2 + \frac{y}{r} - 2\cdot\left(\frac{y}{r}\right)^3$$

第一步：化简等式右边 #

先分别计算每一项的形式：

• 第一项：$2\cdot\frac{y}{r}\cdot\frac{x^2}{r2} = \frac{2x^2y}{r3}$
• 第二项：$\frac{y}{r}$
• 第三项：$-2\cdot\frac{y^3}{r3}$

替换后等式变为：
$$r = \frac{2x^2y}{r3} + \frac{y}{r} - \frac{2y^3}{r3}$$

第二步：消除分母 #

为了去掉所有分式，给等式两边同时乘以$r^3$（这里注意$r\neq0$，后续会验证原点是否满足最终方程）：
$$r \cdot r^3 = 2x^2y + y \cdot r^2 - 2y^3$$
化简后得到：
$$r^4 = y(2x^2 + r^2 - 2y^2)$$

第三步：替换$r^2=x2+y^2$ #

把$r^4$写成$(r2)^{2$，然后代入$r}2=x^2+y2$：

• 左边变为：$(x^2+y2)^2$
• 先化简右边括号内的部分：$2x^2 + (x^2+y2) - 2y^2 = 3x^2 - y^{2$，因此右边变为：$y(3x}2 - y^2)$

现在等式更新为：
$$(x^2+y2)^2 = y(3x^2 - y^2)$$

第四步：整理为标准形式（可选） #

如果需要展开成多项式形式，把左边展开后移项到左边：
$$x^4 + 2x^2y2 + y^4 = 3x^2y - y^3$$
$$x^4 + 2x^2y2 + y^4 - 3x^2y + y^3 = 0$$

验证原点是否包含 #

当$r=0$时，对应直角坐标$(0,0)$，代入上述最终方程：
$$(0+0)^2 = 0\cdot(0 - 0) \quad \Rightarrow \quad 0=0$$
显然成立，所以原点也在方程表示的曲线上。

最终直角坐标方程 #

最简形式：
$$\boldsymbol{(x^2+y2)^2 = 3x^2y - y^3}$$

或者展开后的多项式形式：
$$\boldsymbol{x^4 + 2x^2y2 + y^4 - 3x^2y + y^3 = 0}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user527827