含奇异项矩阵的特征值与特征向量摄动方法适配问询

你的初步思路完全找对了方向！当矩阵里出现$\frac{1}{\epsilon}$这种在$\epsilon \to 0$时发散的项时，常规正则摄动（直接展开$\lambda(\epsilon)$和$v(\epsilon)$）会直接失效——毕竟矩阵本身的尺度在$\epsilon$趋近于0时会爆炸，特征值的量级肯定也跟着“跑飞”了。所以核心调整思路就是重新缩放矩阵和特征值的量级，把问题拉回正则摄动能处理的框架里。

下面是具体的步骤拆解：

1. 矩阵的尺度缩放 #

按照你的想法，先把$M$里的$\frac{1}{\epsilon}$因子提出来，让剩下的矩阵在$\epsilon \to 0$时保持有界：
$$M = \frac{1}{\epsilon} \begin{bmatrix} \epsilon a & \epsilon b \ c & d \end{bmatrix} = \frac{1}{\epsilon} \left( A_0 + \epsilon A_1 \right)$$
这里我们定义：

• $A_0 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \ c & d \end{bmatrix}$（$\epsilon \to 0$时的主导项矩阵）
• $A_1 = \begin{bmatrix} a & b \ 0 & 0 \end{bmatrix}$（$\epsilon$量级的扰动项矩阵）

2. 特征值的量级匹配 #

原特征值方程是$M v = \lambda v$，把缩放后的$M$代入，两边乘以$\epsilon$消掉分母，得到：
$$(A_0 + \epsilon A_1) v = \epsilon \lambda v$$

这时候能看出来：左边是有界矩阵（$A_0$）加小扰动，右边是$\epsilon \lambda$乘以特征向量。如果$\lambda$还是按常规的$\sum_{j=0}^\infty \lambda_j \epsilon^j$展开，右边的$\epsilon \lambda$会是$\epsilon$量级，和左边的$A_0 v$（零阶）不匹配。所以必须调整特征值的展开形式：

假设原特征值$\lambda(\epsilon)$是$\frac{1}{\epsilon}$量级的（因为$M$的尺度是$\frac{1}{\epsilon}$），我们令：
$$\lambda(\epsilon) = \frac{\mu(\epsilon)}{\epsilon}$$
其中$\mu(\epsilon)$是在$\epsilon \to 0$时有界的量，然后对$\mu(\epsilon)$做正则摄动展开：
$$\mu(\epsilon) = \mu_0 + \mu_1 \epsilon + \mu_2 \epsilon^2 + \dots$$

特征向量$v(\epsilon)$可以保持常规的正则展开（后续如果发现问题再调整，先按这个来）：
$$v(\epsilon) = v_0 + v_1 \epsilon + v_2 \epsilon^2 + \dots$$

3. 逐阶展开求解 #

把$\lambda(\epsilon)$和$v(\epsilon)$代入变换后的特征值方程，右边的$\epsilon$会直接约掉，得到：
$$(A_0 + \epsilon A_1)(v_0 + v_1 \epsilon + \dots) = (\mu_0 + \mu_1 \epsilon + \dots)(v_0 + v_1 \epsilon + \dots)$$

接下来按$\epsilon$的幂次逐阶匹配，求解$\mu_j$和$v_j$：

零阶项（$\epsilon^0$） #

$$A_0 v_0 = \mu_0 v_0$$
这就是$A_0$的特征值问题，直接计算行列式可得：

• 特征值：$\mu_0^{(1)} = 0$，$\mu_0^{(2)} = d$
• 对应特征向量：$v_0^{(1)} = \begin{bmatrix}1 \ 0\end{bmatrix}$，$v_0^{(2)} = \begin{bmatrix}0 \ 1\end{bmatrix}$（或其非零倍数）

一阶项（$\epsilon^1$） #

整理后得到：
$$(A_0 - \mu_0 I)v_1 = (\mu_1 I - A_1)v_0$$
这里需要分两种情况讨论（对应零阶的两个特征值）：

情况1：$\mu_0 = d$，$v_0 = \begin{bmatrix}0 \ 1\end{bmatrix}$

左边矩阵$(A_0 - dI) = \begin{bmatrix}-d & 0 \ c & 0\end{bmatrix}$，右边向量$(\mu_1 I - A_1)v_0 = \begin{bmatrix}-b \ \mu_1\end{bmatrix}$。根据Fredholm择一性，方程有解的条件是右边与$(A_0 - dI)^T$的零空间正交，解得$\mu_1 = \frac{bc}{d}$（假设$d \neq 0$）。

然后解出$v_1$：设$v_1 = \begin{bmatrix}k \ l\end{bmatrix}$，代入方程可得$k = \frac{b}{d}$，$l$可以取任意值（特征向量的自由度，通常设为0简化）。

情况2：$\mu_0 = 0$，$v_0 = \begin{bmatrix}1 \ 0\end{bmatrix}$

左边矩阵$A_0 = \begin{bmatrix}0 & 0 \ c & d\end{bmatrix}$，右边向量$(\mu_1 I - A_1)v_0 = \begin{bmatrix}\mu_1 - a \ 0\end{bmatrix}$。左边的第一个分量恒为0，因此必须$\mu_1 - a = 0$，即$\mu_1 = a$。

再解$v_1$：设$v_1 = \begin{bmatrix}k \ l\end{bmatrix}$，代入得$ck + dl = 0$，取$k=1$则$l = -\frac{c}{d}$（$d \neq 0$）。

4. 还原回原矩阵的特征值与特征向量 #

把$\mu(\epsilon)$代回$\lambda(\epsilon) = \frac{\mu(\epsilon)}{\epsilon}$，得到原矩阵$M$的特征值展开：

• 对应$\mu_0 = d$的特征值：$\lambda(\epsilon) = \frac{d + \frac{bc}{d}\epsilon + \dots}{\epsilon} = \frac{d}{\epsilon} + \frac{bc}{d} + \dots$（$\epsilon \to 0$时发散）
• 对应$\mu_0 = 0$的特征值：$\lambda(\epsilon) = \frac{0 + a\epsilon + \dots}{\epsilon} = a + \dots$（$\epsilon \to 0$时收敛到$a$）

特征向量也可以通过展开式直接得到，比如对应第一个特征值的$v(\epsilon) = \begin{bmatrix}0 \ 1\end{bmatrix} + \epsilon \begin{bmatrix}\frac{b}{d} \ 0\end{bmatrix} + \dots$，第二个的$v(\epsilon) = \begin{bmatrix}1 \ 0\end{bmatrix} + \epsilon \begin{bmatrix}1 \ -\frac{c}{d}\end{bmatrix} + \dots$（可根据归一化需求调整系数）

额外说明 #

如果$d=0$，$A_0$会变成秩1矩阵，这时候需要进一步调整$\mu(\epsilon)$的展开形式（比如取$\mu(\epsilon) = \mu_0 \sqrt{\epsilon} + \dots$），但核心思路还是先缩放矩阵让主导项有界，再匹配特征值的量级，把奇异摄动问题转化为正则摄动问题。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Denny