数论技术问询：给定数域$K / \Bbb Q$，是否存在仅含一个上方素理想的有理素数？

首先明确问题核心：给定数域扩张 $K/\mathbb{Q}$，是否存在素数 $p\in\mathbb{Z}$，使得 $p$ 在 $K$ 中仅对应一个素理想因子（即分解形式为 $p\mathcal{O}_K = P^s$，其中 $1\leq s\leq [K:\mathbb{Q}]$）？我们分两种情况讨论：

一、一般数域扩张（非Galois） #

答案是肯定的，这样的素数 $p$ 不仅存在，而且有无穷多个。

• 最直接的例子是惯性素数：取 $K=\mathbb{Q}(\alpha)$，其中 $\alpha$ 是代数整数，$f(x)\in\mathbb{Z}[x]$ 是 $\alpha$ 的极小多项式。根据数论中的经典结果，有无穷多个素数 $p$ 使得 $f(x)$ 在有限域 $\mathbb{F}_p[x]$ 中不可约。此时 $p$ 在 $K$ 中惯性，即 $p\mathcal{O}_K = P$（$s=1$），对应唯一的素理想 $P$，剩余类次数 $f=[K:\mathbb{Q}]$。
• 即使不考虑惯性素数，完全分歧的素数也可能存在（比如 $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 中，$p=2$ 完全分歧为 $(\sqrt[3]{2})^3$），但仅惯性素数的存在就已经满足题目的要求。

二、Galois扩张 $K/\mathbb{Q}$ #

题目提到：若Galois群非循环，则不存在惯性素数——这是对的，因为惯性素数的分解群等于整个Galois群，而剩余类域扩张是循环的，因此Galois群必须是循环群（分解群/惯性群 ≌ 剩余类域扩张的Galois群，是循环群；而惯性群在惯性素数的情况下等于分解群，故Galois群循环）。

但这并不意味着不存在满足条件的素数，我们仍然可以找到形如 $p\mathcal{O}_K=P^s$ 的素数 $p$：

1. 完全分歧的素数 #

对于很多非循环Galois扩张，完全分歧的素数是存在的。比如：

• 取 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$，其Galois群是 $C_2\times C_2$（非循环），素数 $p=2$ 在 $K$ 中完全分歧：$2\mathcal{O}_K = P^4$（$P$ 是 $K$ 中的某个素理想），此时仅有一个素理想位于 $p=2$ 之上。
• 更一般地，对于任何有限Galois群 $G$，只要 $G$ 存在正规子群 $I$ 使得 $G/I$ 是平凡群（即 $I=G$），就对应完全分歧的素数（此时剩余类次数 $f=1$，分歧指数 $e=[K:\mathbb{Q}]$）。

2. 更一般的情况（$g=1$，$f>1$） #

即使没有完全分歧的素数，我们也能找到满足条件的素数：根据Chebotarev密度定理，对于Galois群 $G$ 的任何循环商群 $G/I$，存在无穷多个素数 $p$ 使得分解群 $D_P=G$，且剩余类域扩张的Galois群 ≌ $G/I$（循环群）。此时 $p$ 在 $K$ 中的分解满足 $g=1$（仅一个素理想因子），$f=|G/I|$，$e=|I|$，即 $p\mathcal{O}_K=P^{|I|}$，完全符合题目的要求。

总结：无论 $K/\mathbb{Q}$ 是否为Galois扩张，都存在满足条件的素数 $p$；即使Galois群非循环，也能找到完全分歧或其他单素理想因子的素数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alphonse