证明函子$H: J \rightarrow \text{Ab}$不连续的思路受阻，求指导

你已经走在了正确的轨道上——假设函子$H: \text{Set} \to \text{Ab}$连续（即保持所有小极限），然后通过构造矛盾来推翻这个假设。下面是具体的推导步骤，帮你找到那个关键的矛盾点：

1. 明确连续函子的核心性质 #

连续函子会把小范畴上的极限锥映射到目标范畴的极限锥。对于集合范畴$\text{Set}$中的任意小图$F: J \to \text{Set}$，如果$v: D \dot{\to} F$是它的极限锥，那么$Hv: HD \dot{\to} HF$必须是$\text{Ab}$中的极限锥。

我们可以选取$\text{Set}$中一个经典的小极限——可数无限个二元集合的积，来制造矛盾：

2. 选取具体的集合图 #

令$J$为可数无限离散范畴（对象是$\mathbb{N}$，没有非恒等态射），定义$F_j = {0,1}$对每个$j \in \mathbb{N}$。这个图在$\text{Set}$中的极限是积集合$D = \prod_{j \in \mathbb{N}} F_j$，对应的极限锥是投影映射$v_j: D \to F_j$（把积中的元素映射到第$j$个坐标）。

3. 分析自由阿贝尔群函子作用后的结果 #

根据$H$的定义：

• $HF_j = \mathbb{Z}^{|F_j|} = \mathbb{Z}^2$（每个二元集合生成秩为2的自由阿贝尔群）
• $HD = \mathbb{Z}^{|D|} = \mathbb{Z}^{2{\aleph_0}}$（因为$|D| = 2^{\aleph_0}$，即连续统基数）

而$\text{Ab}$中${\mathbb{Z}^2}{j \in \mathbb{N}}$的极限是阿贝尔群的积$\prod{j \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}^2$。

4. 关键矛盾：两个群不同构 #

这里的核心问题是：$\mathbb{Z}^{2{\aleph_0}}$和$\prod_{j \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}^2$作为阿贝尔群不同构：

• $\mathbb{Z}^{2{\aleph_0}}$是自由阿贝尔群，它的每个元素都是基元的有限整数线性组合。
• $\prod_{j \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}^2$不是自由阿贝尔群：它包含子群$\prod_{j \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}$（取每个$\mathbb{Z}^2$的第一个分量），而经典结论告诉我们，可数无限个$\mathbb{Z}$的积不是自由阿贝尔群（它不是"细长群"，存在依赖所有坐标的非平凡同态，而自由阿贝尔群不允许这样的结构）。

5. 用泛性质强化矛盾 #

如果$H$连续，那么$HD = \mathbb{Z}^{2{\aleph_0}}$必须是${\mathbb{Z}^2}_{j \in \mathbb{N}}$在$\text{Ab}$中的极限，即它必须满足阿贝尔群积的泛性质：

对任意阿贝尔群$A$和锥$f_j: A \to \mathbb{Z}^2$（这里就是任意一族同态），存在唯一的同态$h: A \to \mathbb{Z}^{2{\aleph_0}}$使得$Hv_j \circ h = f_j$对所有$j$成立。

现在取$A = \prod_{j \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}^{2$，$f_j$是投影同态（把积元素映射到第$j$个$\mathbb{Z}}2$分量）。如果这样的$h$存在，那么$h$会是一个从$\prod_{j \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}^{2$到自由阿贝尔群$\mathbb{Z}}{2^{\aleph_0}}$的同态，且满足$Hv_j(h(a)) = a_j$对所有$a = (a_j) \in A$。但$\prod_{j \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}^2$不是自由阿贝尔群，而自由阿贝尔群的子群都是自由的，这就导致矛盾——因为$h$的像如果是自由的，但$A$本身不是自由的，且$h$必须能容纳$A$的所有结构，这是不可能的。

总结 #

通过选取可数无限二元集合的积这个极限，我们发现自由阿贝尔群函子作用后的结果不满足$\text{Ab}$中极限的泛性质，因此$H$不可能是连续函子。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Oliver G