求实数k下方程sinx+cosx=ktanx在0≤x≤2π内的解的个数

首先你的换元思路其实把问题绕复杂了，不如换个更直接的方向——先处理原方程的定义域（$x\neq\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}$，因为$\tan x$无意义），然后将方程转化为整式方程来分析：

步骤1：转化为整式方程 #

原方程两边同乘$\cos x$（$\cos x\neq0$，即排除$x=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}$），得到：
$$(\sin x+\cos x)\cos x =k\sin x$$
展开左边并整理：
$$\sin x\cos x + \cos^2x -k\sin x=0$$

步骤2：用函数值域分析解的个数 #

我们可以把方程变形为求$k$的表达式，即：
$$k=\frac{\sin x\cos x + \cos^2x}{\sin x} \quad (x\neq0,\pi,2\pi,\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})$$
令$g(x)=\frac{\sin x\cos x + \cos^2x}{\sin x}$，化简一下：
$$g(x)=\cos x + \frac{\cos^2x}{\sin x}=\cos x + \frac{1-\sin^2x}{\sin x}=\cos x + \csc x - \sin x$$

接下来分区间分析$g(x)$的单调性和值域：

• 区间$(0,\frac{\pi}{2})$：$g(x)$从$+\infty$单调递减到$0$，值域为$(0,+\infty)$，每个$k>0$对应1个解；
• 区间$(\frac{\pi}{2},\pi)$：$g(x)$从$0$单调递增到$+\infty$，值域为$(0,+\infty)$，每个$k>0$对应1个解；
• 区间$(\pi,\frac{3\pi}{2})$：$g(x)$从$-\infty$单调递增到$0$，值域为$(-\infty,0)$，每个$k<0$对应1个解；
• 区间$(\frac{3\pi}{2},2\pi)$：$g(x)$从$0$单调递减到$-\infty$，值域为$(-\infty,0)$，每个$k<0$对应1个解；

步骤3：特殊情况验证 #

• 当$k=0$时，原方程变为$\sin x+\cos x=0$，解得$x=\frac{3\pi}{4}$和$x=\frac{7\pi}{4}$，共2个解；
• 当$k=\pm\sqrt{2}$时，除了对应区间的解外，还会有特殊点解（比如$k=\sqrt{2}$时$x=\frac{\pi}{4}$是解），但依然总共2个解；

最终结论 #

对任意实数$k$，方程在$0\leq x\leq2\pi$内的解的个数都是2个。

至于你最开始的换元思路，其实可以继续展开，但会涉及更多三角恒等变换，反而不如上面的方法清晰：
从$\sin(x+\frac{\pi}{4})=\tan y \tan x$出发，交叉相乘得$\sin(x+\frac{\pi}{4})\cos y \cos x = \sin y \sin x$，再用三角积化和差公式展开，但最终还是会绕回类似的函数分析，效率不高。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Fricul38