当x→+∞时，∑ₙ≥₀ qⁿ²xⁿ的渐近等价式求解

Hey，我来梳理下这个关于q-高斯函数渐近行为的推导内容：

给定$q\in\mathbb{C}^*$且$|q|<1$，我们定义函数：
$$f(x) = \sum_{n\ge0} q^{n2} x^n$$
现在需要求解当$x\to+\infty$时$f(x)$的渐近等价式，目前已经推导出如下关键不等式：
$$a\le|f(x)|\cdot\exp\left(\frac{\ln^2|x|}{4\ln |q|}\right)\le b$$
其中$a$和$b$的取值分别为：
$$a=\min\left( \left|\sum_{n\in\Bbb Z} q^{(n+\frac12)2}\right|, \left|\sum_{n\in\Bbb Z} q^{n2}\right|\right)$$
$$b=\max\left( \left|\sum_{n\in\Bbb Z} q^{(n+\frac12)2}\right|, \left|\sum_{n\in\Bbb Z} q^{n2}\right|\right)$$

推导的核心步骤从变量替换开始：令$x=q^{-2k}$，其中$k$...（原文此处内容未完整给出）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aforest