反向不等式问询：已知|x|≤10、|y|≤10，求||x|-|y||取值

首先可以明确：你给出的这段推导完全不正确，下面拆解具体的错误点：

• 第一步不等式逻辑错误：
  你写的||x|-|y|| ≤ |x| - |y|违背了绝对值的基本性质。对任意实数z，都有|z| ≥ z，而且如果|x| < |y|，|x| - |y|是负数，而左边||x|-|y||是一个非负数，负数不可能大于等于非负数，这一步从根上就错了。正确的相关三角不等式应该是||x| - |y|| ≤ |x - y|或者||x| - |y|| ≤ |x + y||，绝对不是你写的这个方向。

• 推导步骤逻辑断裂：
  从-10 ≤ y ≤ 10推出10 > -y > -10这一步是对的，但接下来“进而得到0 ≤ x - y ≤ 0”完全没有依据。已知|x| ≤10即-10 ≤x ≤10，结合-10 ≤ -y ≤10，x-y的范围应该是-10 + (-10) ≤ x - y ≤10 +10，也就是-20 ≤x -y ≤20，和你写的0 ≤x-y ≤0完全无关，这一步属于毫无逻辑的错误推导。

正确的推导过程 #

我们可以换个更清晰的思路来求解||x|-|y||的取值范围：

1. 先确定|x|和|y|的范围：
   因为|x| ≤10，所以|x| ∈ [0,10]；同理|y| ∈ [0,10]。
2. 令a = |x|，b = |y|，问题转化为求|a - b|的范围，其中a,b ∈ [0,10]。
3. 分析|a - b|的最值：
   • 最小值：当a = b时，|a - b| = 0，比如x=y=5时，||5|-|5||=0。
   • 最大值：当其中一个取0，另一个取10时，|a - b|=10，比如x=10，y=0时，||10|-|0||=10；或者x=0，y=-10时，||0|-|-10||=10。

所以最终||x|-|y||的取值范围是[0,10]。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者newhere