集合等式B=A-(A-B)证明疑问及双向证明必要性咨询

首先，先把你给出的正向推导过程整理得更清晰些：

我们要证明 $B = A - (A-B)$，先推导正向包含：$A - (A-B) \subseteq B$

取任意 $x \in A - (A-B)$，推导步骤如下：
$$
\begin{align*}
x &\in A - (A-B) \
&\Leftrightarrow x \in A - (A \cap B^C) \quad \text{（差集的定义：}A-B = A \cap B^C\text{）} \
&\Leftrightarrow x \in A \cap (A \cap B^C)C \quad \text{（差集的等价形式）} \
&\Leftrightarrow x \in A \cap (A^C \cup B) \quad \text{（德摩根律）} \
&\Leftrightarrow x \in (A \cap A^C) \cup (A \cap B) \quad \text{（分配律）} \
&\Leftrightarrow x \in \emptyset \cup (A \cap B) \quad \text{（}A \cap A^C = \emptyset\text{）} \
&\Leftrightarrow x \in A \cap B \
&\Rightarrow x \in B
\end{align*}
$$

接下来逐个解答你的疑问：

• 疑问1：此推导是否仅因$x \in B$即成立？
  完全成立！因为$x \in A \cap B$意味着$x$同时属于$A$和$B$，根据交集的定义，必然能推出$x \in B$，这一步逻辑没有问题，不需要额外的条件。

• 疑问2：是否要求$A=B$（因$x \in A \cap B$）？
  完全不需要！$x \in A \cap B$是推导得出的结论，不是前提条件。举个例子：设$A={1,2,3}$，$B={2,3}$，此时$A \neq B$，但计算一下：$A-B={1}$，$A-(A-B)={1,2,3}-{1}={2,3}=B$，等式依然成立。所以$A$和$B$不需要相等，只要满足后续反向包含的条件（其实是$B \subseteq A$，后面会提到）即可。

• 疑问3：由于等式需双向证明，是否还需证反向包含？
  没错！集合相等的核心定义是互相包含，也就是既要证明$A - (A-B) \subseteq B$（你已经完成的部分），还要证明$B \subseteq A - (A-B)$，这样才能得出$B = A - (A-B)$。

  补充一下反向包含的推导（这里需要注意：只有当$B \subseteq A$时，反向包含才成立，否则等式不成立）：
  假设$B \subseteq A$，取任意$x \in B$，则：
  $$
  \begin{align*}
  x &\in B \subseteq A \Rightarrow x \in A \
  \text{又因为 } x \in B &\Rightarrow x \notin A-B \quad \text{（}A-B\text{是}A\text{中不属于}B\text{的元素）} \
  \text{所以 } x &\in A \text{ 且 } x \notin A-B \Rightarrow x \in A - (A-B)
  \end{align*}
  $$
  这样就完成了反向包含的证明，结合正向推导，就能得出当$B \subseteq A$时，$B = A - (A-B)$成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者hit