求证：对任意正数c与正整数k，存在无穷多正整数n满足|sin(nᵏ)|<c

这是个很经典的数论分析问题！你已经搞定了k=1的情况，那k≥2的核心其实是利用无理数相关的均匀分布性质来推导，下面给你一步步梳理：

核心思路：稠密性/均匀分布的应用 #

我们的目标是找到无穷多正整数n，使得nᵏ落在2π的某个邻域内（或者π的邻域，因为sin(π±x)=±sinx，绝对值一致），也就是让nᵏ mod 2π落入区间$(-\arcsin c, \arcsin c)$或者$(π-\arcsin c, π+\arcsin c)$——这两个区间对应的|sinx|都小于c。

如果能证明序列${n^k \mod 2π}$在$[0,2π)$上是稠密的（甚至是均匀分布的），那任意长度大于0的区间里都会有无穷多个序列项，自然就能满足条件。

关键工具：Weyl均匀分布准则 + Van der Corput引理 #

1. Weyl准则回顾 #

序列${x_n}$在$[0,1)$上均匀分布的充要条件是：对所有非零整数m，有
$$\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N e^{2πi m x_n} = 0$$

我们令$x_n = \frac{n^k}{2π}$，那要验证的就是：对任意非零整数m，$\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N e^{i m n^k} = 0$。

2. Van der Corput引理的应用 #

Van der Corput引理是处理这类指数和的关键：如果对于每个正整数h，序列${x_{n+h} - x_n}$在$[0,1)$上均匀分布，那么${x_n}$也均匀分布。

计算$x_{n+h} - x_n$：
$$x_{n+h} - x_n = \frac{(n+h)^k - n^k}{2π} = \frac{k h n^{k-1} + \binom{k}{2} h^2 n^{k-2} + ... + h^k}{2π}$$
这是一个关于n的k-1次多项式，首项系数为$\frac{k h}{2π}$。

3. 多项式序列的均匀分布 #

根据Weyl的另一个结论：如果P(n)是次数≥1的多项式，且至少有一个非常数项的系数是无理数，那么序列${P(n) \mod 1}$是均匀分布的。

这里，因为π是无理数，$\frac{k h}{2π}$必然是无理数（k,h都是正整数，kh≠0），所以上述k-1次多项式对应的序列${x_{n+h} - x_n}$是均匀分布的。结合Van der Corput引理，就能推出${x_n} = {\frac{n^k}{2π}}$是均匀分布的。

结论推导 #

既然${n^k \mod 2π}$在$[0,2π)$上均匀分布，那么对于任意c>0，我们构造的目标区间（长度为$2\arcsin c > 0$）内必然包含无穷多个序列项，也就是存在无穷多正整数n，使得$|\sin(n^k)| = |\sin(n^k \mod 2π)| < c$。

这个思路对任意k≥2都成立，从二次方到更高次幂的情况都能覆盖。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者김동하