给定线性变换T:ℂ³→ℂ³，求其伴随算子T*

首先，咱们先明确复内积空间中伴随算子的核心性质：对于任意向量$x,y\in\mathbb C^{3$，伴随算子$T}*$满足$\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle$，这里用的是标准复内积定义$\langle x,y\rangle = \overline{x_1}y_1 + \overline{x_2}y_2 + \overline{x_3}y_3$（第一个变量反线性，第二个变量线性）。

步骤1：写出线性变换$T$对应的矩阵 #

根据题目里$T$的定义：
$$
T\left( \begin{bmatrix} z_1 \ z_2 \ z_3 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} z_1 - iz_2 \ iz_1 + z_2 \ z_1 + z_2 + iz_3 \end{bmatrix}
$$
咱们可以得到$T$在标准基下的矩阵$A$，矩阵的每一行对应变换后向量的一个分量的系数：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & -i & 0 \
i & 1 & 0 \
1 & 1 & i
\end{bmatrix}
$$

步骤2：计算伴随算子对应的矩阵 #

在复内积空间里，伴随算子$T^*$对应的矩阵是原矩阵$A$的共轭转置（先对每个元素取共轭复数，再转置矩阵）：

1. 先算$A$的共轭矩阵$\overline{A}$：
   $$
   \overline{A} = \begin{bmatrix}
   1 & i & 0 \
   -i & 1 & 0 \
   1 & 1 & -i
   \end{bmatrix}
   $$
2. 再对$\overline{A}$转置，得到共轭转置矩阵$A^{H$（也就是$T}*$对应的矩阵）：
   $$
   A^H = \begin{bmatrix}
   1 & -i & 1 \
   i & 1 & 1 \
   0 & 0 & -i
   \end{bmatrix}
   $$

步骤3：写出$T^*$的表达式 #

根据这个共轭转置矩阵，咱们就能写出$T^$的作用形式：
$$
T^\left( \begin{bmatrix} z_1 \ z_2 \ z_3 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} z_1 - iz_2 + z_3 \ iz_1 + z_2 + z_3 \ -iz_3 \end{bmatrix}
$$

对比选项分析 #

对照题目给出的四个选项来看：

• 选项A：前两个分量缺少$z_3$项，第三个分量错误包含$z_1,z_2$，直接排除；
• 选项B：第二个分量的系数$-i$应该是$i$，第三个分量的系数$i$应该是$-i$，和正确结果不符；
• 选项C：第一个分量的系数$i$应该是$-i$，第三个分量的系数$i$应该是$-i$，也不符合正确结果；
• 选项D：前两个分量缺少$z_3$项，同样不符合。

推测题目给出的选项可能存在笔误，按照严格的推导计算，正确的伴随算子表达式就是咱们上面得到的结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user464147