两个绝对连续密度是否几乎必然相等？及分布等价相关技术问询

让咱们逐个拆解你的问题：

问题1：若两个密度绝对连续，它们是否几乎必然相等？ #

首先得明确下术语：这里应该是指两个概率测度相互绝对连续（也就是互为绝对连续，记作$P \ll Q$且$Q \ll P$）——毕竟“密度绝对连续”一般是指测度关于Lebesgue测度绝对连续，而你问的应该是两个测度之间的绝对连续关系。

答案是否定的，它们的密度不一定几乎必然相等。给你举个直观的例子：

• 设$P$是$[0,1]$上的均匀分布，关于Lebesgue测度的密度$p(x)=1$（几乎所有$x \in [0,1]$成立，$[0,1]$外$p(x)=0$）。
• 设$Q$是$[0,1]$上的Beta(2,1)分布，密度$q(x)=2x$（几乎所有$x \in [0,1]$成立，$[0,1]$外$q(x)=0$）。

这两个测度是相互绝对连续的：只要$P(B)=0$，说明$B$和$[0,1]$的交集是Lebesgue零测集，那$Q(B)=\int_B 2x dx=0$；反过来，$Q(B)=0$也意味着$B$和$[0,1]$的交集是零测集，所以$P(B)=0$。但你看，$p(x)$和$q(x)$在$(0,1)$上几乎处处都不相等，显然不满足“几乎必然相等”的结论。

问题2：设$p(dx)$和$q(dx)$是两个$L^1(\mathbb{P})$随机变量$P$和$Q$的密度，若$p(x)=0 \Rightarrow q(x)=0$，则$P$与$Q$是否同分布？ #

答案依然是否定的，你的直觉在这里出现了小偏差，咱们来理清楚逻辑：

首先，条件$p(x)=0 \Rightarrow q(x)=0$等价于$Q \ll P$（$Q$关于$P$绝对连续）：如果$P(B)=0$，那么$\int_B p(x)dx=0$，这说明$B$是$p$的Lebesgue零测集，根据你的条件，$q$在$B$上也几乎处处为0，所以$\int_B q(x)dx=Q(B)=0$，完全符合绝对连续的定义。

根据Radon-Nikodym定理，确实存在非负可测函数$f$（也就是$Q$关于$P$的Radon-Nikodym导数，记作$f=\frac{dQ}{dP}$），使得对所有Borel集$B$，都有$\int_B q(x)dx = \int_B f(x)p(x)dx$，也就是$q(x)=f(x)p(x)$几乎处处成立。

但这里的$f$不需要恒等于1！它只需要满足$\int_{\mathbb{R}} f(x)p(x)dx = 1$（因为$Q$是概率测度），也就是$\int_{\mathbb{R}} f dP = 1$。只要满足这个积分条件的非负函数$f$都可以，完全没必要是常数1。

还是用刚才的例子：$p(x)=1$（$[0,1]$上），$q(x)=2x$（$[0,1]$上），显然满足$p(x)=0$时$q(x)=0$，对应的$f(x)=2x$，积分$\int_0^1 2x \cdot 1 dx=1$，完全符合要求，但$f$显然不是恒等于1，所以$q \neq p$几乎处处成立，$P$和$Q$也不同分布——比如$P([0,0.5])=0.5$，但$Q([0,0.5])=\int_0^{0.5}2x dx=0.25$，结果差很多。

只有当$f \equiv 1$几乎处处成立时，才会有$q=p$几乎处处成立，进而$P$和$Q$同分布，但这个条件并不是由$Q \ll P$自动推导出来的，需要额外的假设（比如$P$也关于$Q$绝对连续，且$f=1$，或者两者的分布函数完全一致等）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者J.Zagdoun