紧Hausdorff空间上映射T:C(X)→ℬ(L²(X,ν))是否为单射？

咱们直接切入问题：给定紧Hausdorff空间$X$，$X$上的概率测度$\nu$，映射$T:C(X)\to\mathcal{B}(L^2(X,\nu))$将连续函数$f$对应到乘法算子$M_f$（即$M_f(g)=fg$），这个映射是不是单射呢？

答案是：T是单射当且仅当测度$\nu$的支撑集是整个空间$X$（即$\text{supp}(\nu)=X$）。下面分两种情况详细说明：

情况1：$\text{supp}(\nu)=X$时，T是单射 #

首先回忆单射的定义：若$T(f_1)=T(f_2)$则必有$f_1=f_2$。

假设$T(f_1)=T(f_2)$，这意味着乘法算子$M_{f_1}=M_{f_2}$，即对所有$g\in L^2(X,\nu)$，都有$(f_1-f_2)g=0$ $\nu$-几乎处处成立。

取$g=1$（因为$\nu$是概率测度，常数函数1属于$L^2(X,\nu)$），代入可得$f_1-f_2=0$ $\nu$-几乎处处成立。令$h=f_1-f_2$，这是一个连续函数，且$h=0$ $\nu$-几乎处处。

由于$\text{supp}(\nu)=X$，意味着$X$中每个点的任意邻域都有正测度。如果$h$不是零函数，那么存在某个$x_0\in X$使得$h(x_0)\neq0$，由连续性，存在$x_0$的邻域$U$，使得在$U$上$|h(x)|\geq\varepsilon>0$，而$\nu(U)>0$，这与$h=0$ $\nu$-几乎处处矛盾。因此$h\equiv0$，即$f_1=f_2$，T是单射。

情况2：$\text{supp}(\nu)\neq X$时，T不是单射 #

当$\text{supp}(\nu)$是$X$的真闭子集时，取$x_0\in X\setminus\text{supp}(\nu)$，根据支撑集的定义，存在$x_0$的邻域$U$满足$\nu(U)=0$。

因为$X$是紧Hausdorff空间（正规空间），由Urysohn引理，存在连续函数$h\in C(X)$，满足$h(x_0)=1$且$h(X\setminus U)=0$，显然$h$不是零函数。

但$h$在$X$上$\nu$-几乎处处为0（因为$\nu(U)=0$，而$h$在$X\setminus U$上恒为0），因此对任意$g\in L^2(X,\nu)$，$M_h(g)=hg=0$ $\nu$-几乎处处，即$M_h$是零算子。这意味着$T(h)=T(0)$，但$h\neq0$，所以T不是单射。

举个具体例子 #

取$X=[0,1]$（紧Hausdorff空间），$\nu=\delta_0$（在0点的Dirac测度，是概率测度），此时$\text{supp}(\nu)={0}\neq[0,1]$。取连续函数$h(x)=x$，显然$h\neq0$，但$M_h(g)(x)=xg(x)$，计算$L^2$范数：
$$|M_h(g)|_2^{2=\int_{[0,1]}|xg(x)|}2d\delta_0=|0\cdot g(0)|^2=0$$
所以$M_h$是零算子，即$T(h)=T(0)$，但$h\neq0$，直接验证了T不是单射。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者tattwamasi amrutam