C¹类函数导数有界性证明求助：证存在x₀∈[-1,1]使|f’(x₀)|≤1

嘿，这个问题用反证法结合你提到的连续函数性质，就能轻松解决，我给你一步步理清楚：

第一步：反证假设 #

假设结论不成立，也就是对所有x∈[-1,1]，都有|f’(x)| > 1。
因为f’是连续函数（C¹类），根据连续函数的中间值定理，f’不可能同时存在大于1和小于-1的点（否则中间必然存在某个点使得f’(x)落在[-1,1]区间内，和假设矛盾）。所以只有两种可能：

• 对所有x∈[-1,1]，f’(x) > 1
• 对所有x∈[-1,1]，f’(x) < -1

第二步：用拉格朗日中值定理导出矛盾 #

我们分两种情况讨论：

1. 当f’(x) > 1 对所有x∈[-1,1]成立时
   根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(-1,1)，使得：
   f(1) - f(-1) = f’(ξ) * [1 - (-1)] = 2f’(ξ)
   因为f’(ξ) > 1，所以f(1)-f(-1) > 2*1 = 2。
   但题目中f的值域是[-1,1]，即f(1) ≤1，f(-1) ≥-1，因此f(1)-f(-1) ≤ 1 - (-1) = 2，这和上面的结论矛盾。

2. 当f’(x) < -1 对所有x∈[-1,1]成立时
   同样用拉格朗日中值定理，存在ξ∈(-1,1)，使得：
   f(1) - f(-1) = 2f’(ξ)
   因为f’(ξ) < -1，所以f(1)-f(-1) < 2*(-1) = -2。
   但根据值域限制，f(1) ≥-1，f(-1) ≤1，因此f(1)-f(-1) ≥ -1 - 1 = -2，这也和结论矛盾。

第三步：得出结论 #

两种情况都导出了矛盾，说明我们的反证假设不成立，因此必然存在x₀∈[-1,1]，使得|f’(x₀)| ≤1。

另外你提到f’([-1,1])是紧集（闭且有界），其实这一点在反证时也能辅助理解：紧集上的连续函数能取到最值，如果假设|f’(x)|>1对所有x成立，那f’的最小值大于1或者最大值小于-1，结合拉格朗日定理就会和值域限制冲突，本质和上面的思路是一致的~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lucas