法向量a场景下，如何从aᵀx = b中分离x？推导正确性验证
首先，你的推导思路方向是对的，但有一个关键细节需要修正——咱们一步步理清楚：
前提明确
首先，a作为法向量，必然是非零向量（如果a是零向量，等式要么无解，要么所有x都满足，没有实际意义）。我们要找的是满足$a^T x = b$的解，注意这个等式的解是一个n维超平面（当a是n维向量时），而你给出的正确解是这个超平面上离原点最近的唯一解（最小范数解），也就是沿a方向的投影点。
你的推导修正
你写出的$x = (aaT){-1}ab$，问题出在$(aaT)$的可逆性上：当a是n维向量（n>1）时，$aaT$是一个n×n的秩1矩阵，它的行列式为0，是不可逆的，所以不能直接用普通矩阵逆。不过如果我们用Moore-Penrose伪逆（针对不可逆矩阵的广义逆）来替代普通逆，你的式子就能转化为正确解：
对于非零向量a，$aa^T$的Moore-Penrose伪逆是：
$$(aaT)+ = \frac{aaT}{|a|_24}$$
将其代入你的式子：
$$
\begin{align*}
x &= (aaT)+ ab \
&= \frac{aaT}{|a|_24} \cdot ab \
&= \frac{a(a^T a)b}{|a|_2^4} \
&= \frac{a \cdot |a|_2^2 \cdot b}{|a|_2^4} \
&= \frac{b}{|a|_2^2}a
\end{align*}
$$
这样就和正确解完全一致了！
更直接的推导方式
其实不用涉及矩阵逆/伪逆，用向量点积的性质推导会更简单：
假设我们要找的解x是a的标量倍数（因为我们要找沿a方向的最小范数解），即$x = ka$（k是待求的标量），将其代入原等式：
$$a^T x = a^T(ka) = k(a^T a) = k|a|_2^2 = b$$
直接解出k：
$$k = \frac{b}{|a|_2^2}$$
因此得到：
$$x = \frac{b}{|a|_2^2}a$$
这个过程更直观，也避开了矩阵不可逆的问题。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者jian
