关于Kelley《一般拓扑学》中f(X)定义的疑问：为何不等于指定集合

该语句出自J.L. Kelley所著《General Topology》（《一般拓扑学》）附录第261页，书中指出：需注意当X是函数f定义域的子集时，$f(X)$不等于${y:\mbox{for some } x, x\in X \mbox{ and } y=f(x)} \tag{1}$，但我不确定原因。推测这与$f(x)=\bigcap{y:(x,y)\in f} \tag{2}$的定义相关，我认为(1)应修改为${y:\mbox{for some } x, x\in X \mbox{ and } (x,y)\in f}$。

嘿，这个问题确实戳中了集合论视角下函数定义的一个容易混淆的细节，我来帮你捋清楚～

首先得明确Kelley的核心逻辑：他是从集合论底层的关系概念来定义函数的——函数本质上是一个「每个定义域元素对应唯一值域元素」的有序对集合。你注意到的(2)式，就是他从这个底层视角给出的$f(x)$的严谨定义：$f(x)$是所有满足$(x,y)\in f$的$y$的交集，因为函数的唯一性，这个交集最终就是那个唯一的对应元素，和我们日常理解的函数值完全一致，但它完全基于集合关系，没有依赖任何直观的“函数值”概念。

那为什么(1)的写法不对？问题出在循环定义上：当你写$y=f(x)$的时候，其实已经默认了$f(x)$是一个确定的元素，但$f(x)$本身的定义是依赖于$f$作为有序对集合的属性的。而$f(X)$作为X的像集，应该从更基础的层面去定义——直接描述「哪些y是X中某个x通过f这个关系对应过来的」，而不是用已经推导出来的$f(x)$来反向描述像集。

你的修改思路完全正确：把(1)改成${y:\mbox{for some } x, x\in X \mbox{ and } (x,y)\in f}$，这才是不依赖$f(x)$、直接从函数的关系本质出发的严谨像集定义，也完全契合Kelley在书中的逻辑。

简单总结：Kelley这里是在强调，像集$f(X)$的定义不能依赖函数值$f(x)$的表述，因为后者本身是从函数的关系属性推导出来的，必须回到最原始的有序对集合描述，才能避免逻辑上的循环。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dog_69