证明当λ→0时函数w到u的一致收敛性

你的初步推导里用了$w\leq\frac{1}{\lambda}$来估计$|w-u|$，得到了趋向无穷的结果，这明显不对——问题出在这个上界太粗糙了，我们得先从方程里精确解出$w$，再做更细致的估计。

步骤1：从方程解出$w$的准确表达式 #

给定$u = w - \frac{\lambda}{2}w^2$，把它整理成关于$w$的二次方程：
$$\frac{\lambda}{2}w^2 - w + u = 0$$
利用求根公式可得：
$$w = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 2\lambda u}}{\lambda}$$
结合题目条件：$\lambda>0$足够小使得$2\lambda u <1$，且$w\leq\frac{1}{\lambda}$，我们确定取减号根——如果取加号，$\frac{1+\sqrt{1-2\lambda u}}{\lambda} \approx \frac{2}{\lambda}$，既不满足$w\leq\frac{1}{\lambda}$，也不可能趋近于$u$。所以正确的表达式是：
$$w = \frac{1 - \sqrt{1 - 2\lambda u}}{\lambda}$$

步骤2：用泰勒展开估计$|w - u|$ #

对$\sqrt{1 - t}$做泰勒展开（这里$t=2\lambda u$，当$\lambda\rightarrow0$时$t\rightarrow0$）：
$$\sqrt{1 - t} = 1 - \frac{t}{2} - \frac{t^2}{8} - o(t^2)$$
代入$t=2\lambda u$，得：
$$\sqrt{1 - 2\lambda u} = 1 - \lambda u - \frac{(\lambda u)^2}{2} - o(\lambda^2)$$
把这个代入$w$的表达式：
$$
\begin{align*}
w &= \frac{1 - \left(1 - \lambda u - \frac{(\lambda u)^2}{2} - o(\lambda^2)\right)}{\lambda} \
&= \frac{\lambda u + \frac{\lambda^2 u^2}{2} + o(\lambda^2)}{\lambda} \
&= u + \frac{\lambda u^2}{2} + o(\lambda)
\end{align*}
$$
于是：
$$|w(x) - u(x)| = \left| \frac{\lambda u(x)^2}{2} + o(\lambda) \right|$$

步骤3：证明一致收敛 #

因为$u\in C^0(\overline{\Omega})$，而$\overline{\Omega}$是有界闭集，所以$u$在$\overline{\Omega}$上有界，即存在常数$M>0$，使得$|u(x)| \leq M$对所有$x\in\overline{\Omega}$成立。因此：
$$|w(x) - u(x)| \leq \frac{\lambda M^2}{2} + o(\lambda)$$
当$\lambda\rightarrow0$时，右边的式子一致趋向于0（和$x$无关），所以$w$在$\overline{\Omega}$上一致收敛于$u$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jeji