关于线性算子T∈ℒ(ℝ³)相关证明的正确性验证请求

预备符号与说明 #

• ℒ(ℝ³) 表示 ℝ³ 上的线性算子集合。
• 结论5.10：线性算子 T 对应不同特征值的特征向量构成线性无关组。

待证定理 #

已知 T∈ℒ(ℝ³)，其特征值为 -4、5、√7，求证：存在 x∈ℝ³ 使得 Tx - 9x = (-4,5,√7)。

证明思路与正确性分析 #

你的证明思路（利用不同特征值的特征向量构成基展开）是完全正确的，下面是完整的推导过程：

1. 先把目标方程变形：Tx - 9x = (T - 9I)x = b，其中 b = (-4,5,√7)，I 是 ℝ³ 上的单位算子。我们的核心目标就是证明这个线性方程有解。

2. 根据结论5.10，T 的三个不同特征值 -4、5、√7 对应的特征向量 v₁、v₂、v₃ 线性无关。而 ℝ³ 是3维空间，所以 {v₁, v₂, v₃} 是 ℝ³ 的一组基。

3. 将 x 和 b 都用这组基展开：

   • 设 x = a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃（a₁,a₂,a₃∈ℝ 是待求系数）
   • 设 b = c₁v₁ + c₂v₂ + c₃v₃（c₁,c₂,c₃∈ℝ 是确定系数，因为 b 是 ℝ³ 中的元素）

4. 代入方程 (T - 9I)x = b 展开计算：

   (T - 9I)x = a₁(T - 9I)v₁ + a₂(T - 9I)v₂ + a₃(T - 9I)v₃
   = a₁(λ₁ - 9)v₁ + a₂(λ₂ - 9)v₂ + a₃(λ₃ - 9)v₃
   = c₁v₁ + c₂v₂ + c₃v₃
   

   这里 λ₁=-4，λ₂=5，λ₃=√7。

5. 由于 v₁,v₂,v₃ 线性无关，等式两边对应基向量的系数必须相等：

   • a₁ = c₁/(λ₁ - 9) = c₁/(-13)
   • a₂ = c₂/(λ₂ - 9) = c₂/(-4)
   • a₃ = c₃/(λ₃ - 9) = c₃/(√7 - 9)

   因为 λ₁-9=-13≠0、λ₂-9=-4≠0、λ₃-9=√7-9≠0，这三个系数 a₁,a₂,a₃ 都存在且唯一，因此对应的 x 必然存在。

另外也可以从可逆性角度快速验证：因为 9 不是 T 的特征值，所以 T - 9I 是可逆算子（有限维空间中，算子不可逆当且仅当0是其特征值，即存在非零向量 v 使得 (T-9I)v=0，也就是 Tv=9v，这与已知特征值矛盾）。可逆算子是双射，所以对任意 b∈ℝ³，都存在唯一的 x=(T-9I)⁻¹b 满足方程。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者atifcppprogrammer