证明：从无限集移除可数子集后，若剩余集无限则基数相等

好的，咱们来一步步解决这个集合论的问题。核心目标是证明无限集合$S$移除一个可数子集后得到的无限集$T$与$S$等势，也就是$|S|=|T|$。我们分两种情况讨论，覆盖$S$是可数无限和不可数无限的场景：

因为$S$是无限集，我们根据$S$的基数类型（可数无限/不可数无限）分别处理：

情况1：$S$是可数无限集 #

如果$S$是可数无限的，根据定义有$|S|=|\mathbb{N}|$（$\mathbb{N}$表示自然数集）。

• 已知被移除的子集$A$是可数集（有限或可数无限），而$T=S\setminus A$是无限集。
• 可数集的子集要么是有限集，要么是可数无限集。由于$T$是无限的，所以$T$必然是可数无限集，即$|T|=|\mathbb{N}|$。
• 因此$|S|=|\mathbb{N}|=|T|$，得证。

情况2：$S$是不可数无限集 #

当$S$不可数时，我们需要构造一个从$S$到$T$的双射（等势的核心定义就是存在这样的双射）。先回忆两个关键前置定理：

• 定理1：任何无限集都包含一个可数无限子集。简单来说，我们可以从无限集里不断取出元素，得到一个形如${b_1,b_2,b_3,...}$的可数无限子集，记为$B\subseteq T$（因为$T$本身是无限集，所以它也满足这个性质）。
• 定理2：两个可数集的并集仍是可数集。不管是有限集+可数无限集，还是可数无限集+可数无限集，它们的并都能和$\mathbb{N}$建立双射。

接下来构造双射$f:S\rightarrow T$：

1. 先从$T$中取出一个可数无限子集$B$（由定理1保证存在）。
2. 考虑集合$C = B \cup A$，其中$A$是被移除的可数子集。根据定理2，$C$是可数无限集（$B$可数无限，$A$可数，二者的并集可数）。
3. 定义$f$的映射规则：
   • 对于不属于$C$的元素$x\in S$：因为$x\notin A$（否则$x\in C$），所以$x\in T$，令$f(x)=x$（直接映射到自身）。
   • 对于属于$C$的元素$x\in S$：因为$C$和$B$都是可数无限集，所以存在双射$g:C\rightarrow B$（所有可数无限集之间都等势）。令$f(x)=g(x)$，而$B\subseteq T$，所以$g(x)\in T$。

现在验证$f$是双射：

• 单射：假设$f(x_1)=f(x_2)$。
  • 如果$x_1,x_2$都不在$C$，那么$f(x_1)=x_1$，$f(x_2)=x_2$，因此$x_1=x_2$。
  • 如果$x_1,x_2$都在$C$，因为$g$是双射，所以$g(x_1)=g(x_2)$意味着$x_1=x_2$。
  • 如果一个在$C$一个不在$C$，那么$f(x_1)\in B$，$f(x_2)\notin B$（因为$x_2\notin C=B\cup A$，所以$x_2\notin B$），不可能相等。
• 满射：任取$y\in T$。
  • 如果$y\notin B$，那么$y\notin A$（因为$y\in T=S\setminus A$）且$y\notin B$，所以$y\notin C$，因此$f(y)=y$，即$y$是$f$的像。
  • 如果$y\in B$，因为$g$是满射，存在$x\in C$使得$g(x)=y$，所以$f(x)=y$，即$y$是$f$的像。

综上，$f$是$S$到$T$的双射，因此$|S|=|T|$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者 gonengazit