域上有限型整概型基变换后的维数问题（Hartshorne习题II.3.20）

咱们来聊聊域$k$上的有限型整概型$X$：当我们把它沿着域扩张$k\subseteq k'$做基变换得到$X' = X\otimes_k k'$时，这个$X'$不一定是整概型。

举个直观的例子就能理解：

• 取基域$k=\mathbb{R}$，构造概型$X = \operatorname{Spec} \mathbb{R}[x,y]/(x^2+y2)$，这是$\mathbb{R}$上的有限型整概型；
• 取域扩张$k'=\mathbb{C}$（也就是复数域），对$X$做基变换得到$X'$。

此时$X'$的具体形式可以分解为：
$$X' = \operatorname{Spec}\mathbb{C}[x,y]/(x^2+y2) = \operatorname{Spec} \mathbb{C}[x,y]/(x+iy) \cup \operatorname{Spec} \mathbb{C}[x,y]/(x-iy)$$

从这个分解能直接看出，$X'$拥有两个不可约分支，自然就不是整概型了。不过每个分支的维数其实和原概型$X$的维数保持一致——原$X$是$\mathbb{R}$上的2维整概型，每个分支作为$\mathbb{C}$上的概型同样是2维的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Davide Cesare Veniani