复一维环面Picard群计算问询：指数序列后续推导困惑

我们从你已经得到的指数序列长正合列片段出发，一步步拆解每个映射的意义，最终得到$\text{Pic}(X)$的结构：

$$0\to \mathbb Z^2 \xrightarrow{\alpha} \mathbb C \xrightarrow{\beta} \text{Pic}(X) \xrightarrow{\gamma} \mathbb Z \to 0$$

注：这里修正了序列开头的零映射——因为$\alpha$是单射，所以可以写成左正合的短序列接右正合部分。

1. 确定映射$\gamma: \text{Pic}(X)\to\mathbb Z$ #

这个映射是指数序列中$H^1(X,O*_X)\to H^2(X,\mathbb Z)$的同态，对应线丛的degree映射：

• 对于任意全纯线丛$L\in\text{Pic}(X)$，$\gamma(L)=\deg L$，即线丛的拓扑次数（等于Chern类$c_1(L)$在环面基本类上的积分）。
• 由于存在次数为1的线丛（比如由theta函数构造的线丛），$\gamma$是满射，这也和序列的右正合性$\text{Im}\gamma=\mathbb Z$一致。

这个映射的核就是$\text{Pic}^0(X)$，即$X$上次数为0的全纯线丛构成的子群，因此我们有直和分解：
$$\text{Pic}(X)\cong\text{Pic}^0(X)\oplus\mathbb Z$$
（因为$\mathbb Z$是自由阿贝尔群，满射$\gamma$存在截面，比如将$n\in\mathbb Z$映射到一个次数为$n$的固定线丛）

2. 分析映射$\alpha: \mathbb Z^2\to\mathbb C$ #

你提到在$H^1(X,O_X)\cong H^{0,1}(X)$的同构下，$\alpha$将$\mathbb Z^2$的基$(1,0),(0,1)$映射到$1,\tau$（对应$\Lambda=\mathbb Z+\tau\mathbb Z$），所以$\alpha$的具体形式是：
$$\alpha(m,n)=m + n\tau \quad (m,n\in\mathbb Z)$$
显然$\alpha$是单射，它的像就是格$\Lambda=\mathbb Z+\tau\mathbb Z\subset\mathbb C$。

3. 确定映射$\beta: \mathbb C\to\text{Pic}^0(X)$ #

这是指数序列的连接同态，它的核是$\text{Im}\alpha=\Lambda$，因此诱导出同构：
$$\mathbb C/\Lambda\xrightarrow{\cong}\text{Pic}^0(X)$$
这个同构的几何意义很直观：

• 对任意$c\in\mathbb C$，$\beta(c)$对应一个次数为0的线丛$L_c$，其构造为$\mathbb C\times\mathbb C$模等价关系：
  $$(z,w)\sim(z+\lambda,w\cdot e^{2\pi i c\cdot\lambda}),\quad \lambda\in\Lambda$$
• 当$c\in\Lambda$时，$e^{2\pi i c\cdot\lambda}=e^{2\pi i(\text{整数})}=1$，此时$L_c$是平凡线丛，即$\beta(c)=0$，这说明$\ker\beta=\Lambda$。
• 反过来，每个次数为0的线丛都可以用这种方式表示，所以$\beta$是满射，进而诱导出$\mathbb C/\Lambda\cong\text{Pic}^0(X)$。

4. 最终结论 #

结合以上分析，复一维环面$X=\mathbb C/\Lambda$的Picard群结构为：
$$\text{Pic}(X)\cong (\mathbb C/\Lambda)\oplus\mathbb Z$$
其中$\mathbb C/\Lambda$就是$X$自身（作为复李群），对应次数为0的线丛；$\mathbb Z$对应线丛的次数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者klirk