求证：等差数列乘积与Gamma函数关联等式是否存在证明

嘿，这个等式的证明其实核心就是利用Gamma函数的经典递推性质，咱们一步步拆解来看：

首先，先处理左边的乘积项：
$$\prod_{k=1}^n(ak+b) = \prod_{k=1}^n a\left(k + \frac{b}{a}\right)$$
把每一项里的$a$提取出来，$n$个$a$相乘就是$a^n$，所以式子可以改写为：
$$a^n \prod_{k=1}^n \left(k + \frac{b}{a}\right)$$

接下来关键的一步：利用Gamma函数的递推公式 $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$，变形一下就能得到：
$$z = \frac{\Gamma(z+1)}{\Gamma(z)}$$

把这个变形用到乘积里的每一项$\left(k + \frac{b}{a}\right)$上，也就是令$z = \frac{b}{a} + k$，那么每一项可以写成：
$$\frac{b}{a} + k = \frac{\Gamma\left(\frac{b}{a} + k + 1\right)}{\Gamma\left(\frac{b}{a} + k\right)}$$

现在把这些项连乘起来，就形成了一个望远镜乘积（中间的项会相互抵消）：
$$\prod_{k=1}^n \frac{\Gamma\left(\frac{b}{a} + k + 1\right)}{\Gamma\left(\frac{b}{a} + k\right)} = \frac{\Gamma\left(\frac{b}{a} + n + 1\right)}{\Gamma\left(\frac{b}{a} + 1\right)}$$
你可以仔细看一下：分子的第一项是$\Gamma\left(\frac{b}{a}+2\right)$，分母的第一项是$\Gamma\left(\frac{b}{a}+1\right)$；分子的第二项是$\Gamma\left(\frac{b}{a}+3\right)$，分母的第二项是$\Gamma\left(\frac{b}{a}+2\right)$……以此类推，最后所有中间项都抵消了，只剩下最后一个分子项和第一个分母项。

最后把之前提取出来的$a^n$乘回去，就得到了等式右边的结果：
$$a^n\frac{\Gamma\left(n+1+\frac{b}a\right)}{\Gamma\left(1+\frac{b}a\right)}$$

补充说明 #

这里需要注意一个前提：$\frac{b}{a}$不能是负整数。因为Gamma函数在负整数点处没有定义（会发散），而如果$\frac{b}{a}$是负整数的话，左边的乘积中必然存在某一项$ak+b=0$，这时候等式两边的意义就不匹配了（左边为0，右边发散），所以这个等式在$\frac{b}{a} \notin { -1, -2, -3, ... }$时成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者zeraoulia rafik