有限交换群间映射的延拓问题：单同态能否延拓为同构？

首先直接给结论：不一定存在这样的同构$f:A \to B$使得$f|_T = i$，我们先看一个具体的反例：

反例 #

设$A = B = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$（阶为8的交换群），取子群$T = \langle (1,0) \rangle$（由$(1,0)$生成的2阶子群），定义单同态$i:T \to B$为$i(1,0) = (0,2)$（$(0,2)$是$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$中的2阶元素）。

假设存在同构$f:A \to B$满足$f|_T = i$，那么$f(1,0) = (0,2)$。考虑$A$中的元素$(0,2)$，它的阶也是2，且$(0,2) \neq (1,0)$，但$f(0,2) = 2f(0,1)$。因为$f$是同构，$f(0,1)$必须是$B$中的4阶元素（比如$(a,1)$或$(a,3)$，$a \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$），那么$2f(0,1) = (0,2)$，这就导致$f(0,2) = f(1,0)$，与$f$是单同态矛盾。因此这样的$f$不存在。

充要条件 #

要使得这样的延拓同构存在，充要条件是商群$A/T$与$B/i(T)$同构。

为什么这个条件是必要的？如果存在同构$f:A \to B$且$f|_T = i$，那么$f$会诱导出商群的同构$\bar{f}:A/T \to B/i(T)$（因为$f(T) = i(T)$），所以$A/T \cong B/i(T)$是必须的。

反过来，当$A/T \cong B/i(T)$时，结合$A \cong B$且$T \cong i(T)$（$i$是有限群上的单同态，故是同构到像），对于有限交换群，我们可以利用结构定理构造出延拓同构：

1. 对每个素数$p$，考虑$A,B,T,i(T)$的$p$-Sylow子群$A_p,B_p,T_p,i(T_p)$，此时$A_p \cong B_p$，$T_p \cong i(T_p)$，且$A_p/T_p \cong B_p/i(T_p)$。
2. 对有限交换$p$-群，利用不变因子分解，我们可以将$T_p$在$A_p$中的直和分解与$i(T_p)$在$B_p$中的分解对应起来，构造出$A_p$到$B_p$的同构，使其限制在$T_p$上等于$i_p$（$i$在$p$-Sylow子群上的限制）。
3. 将各素数对应的同构组合起来，就得到整个群$A$到$B$的同构$f$，满足$f|_T = i$。

比如前面提到的例子：$A=B=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$，$T=\langle (1,3) \rangle$，$i(T)=\langle (1,0) \rangle$，此时$A/T \cong \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$，$B/i(T) \cong \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$，我们就能构造出满足条件的同构$f$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bipolar Minds