关于sin(π/4)=2s(1-s²)^(1/2)的推导疑问及相关证明

首先，你卡住的这一步核心是三角函数的平方关系恒等式——这是三角函数里最基础的公式之一：

sin²θ + cos²θ = 1

已知s = sin(π/8)，把θ换成π/8代入这个公式，就能得到：
s² + cos²(π/8) = 1

接下来把cos²(π/8)单独移到等式右侧：
cos²(π/8) = 1 - s²

因为π/8是第一象限的角（介于0到π/2之间），余弦值在第一象限是正数，所以对两边取算术平方根，就有：
cos(π/8) = √(1 - s²)，也就是你看到的(1-s²)^(1/2)（分数指数和平方根是完全等价的写法）。

接下来咱们把整个证明流程补完整，顺着你已经推导的步骤继续：

1. 你已经得到：sin(π/4) = 2sin(π/8)cos(π/8) = 2s·cos(π/8)
2. 代入刚才推出的cos(π/8)=√(1-s²)，等式变为：sin(π/4) = 2s·√(1-s²)
3. 我们知道sin(π/4)=√2/2，把它代入左侧：
   √2/2 = 2s·√(1-s²)
4. 为了去掉根号，两边同时平方：
   (√2/2)² = (2s·√(1-s²))²
   计算两边结果：
   左侧：(2)/4 = 1/2
   右侧：4s²·(1 - s²) = 4s² - 4s⁴
5. 现在等式简化为：1/2 = 4s² - 4s⁴
6. 两边同时乘以2消去分母：
   1 = 8s² - 8s⁴
7. 把所有项移到左侧整理成题目要求的形式：
   8s⁴ - 8s² + 1 = 0

这样就完成了整个证明，核心就是先用平方关系把余弦转化为正弦的表达式，再通过平方去掉根号，最后整理出目标等式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Juanma Eloy