求证满足f(0)=f(1)=0的连续函数的A∪B=[0,1]问题

这个问题用反证法结合连续函数的最值性质就能很好解决，我给你梳理完整的证明过程：

我们采用反证法来推导：假设存在某个$h_0 \in [0,1]$，使得$h_0 \notin A$且$h_0 \notin B$，我们会发现这会导致矛盾。

步骤1：分析函数的符号一致性 #

根据集合$A$的定义，$h_0 \notin A$意味着：对所有满足$x+h_0 \leq1$的$x$，$f(x+h_0) \neq f(x)$。
因为$f$是连续函数，我们构造辅助函数$g(x) = f(x+h_0) - f(x)$，它的定义域是$[0,1-h_0]$。由于$g(x)$连续且恒不为0，根据介值定理，$g(x)$在整个定义域上要么恒正，要么恒负。我们先假设$g(x) > 0$（恒负的情况完全对称，只需反转不等式方向即可），也就是：
$$f(x+h_0) > f(x), \quad \forall x \in [0,1-h_0] \tag{1}$$

同理，$h_0 \notin B$意味着：对所有满足$x+1-h_0 \leq1$的$x$，$f(x+1-h_0) \neq f(x)$。
构造辅助函数$k(x) = f(x+1-h_0) - f(x)$，定义域是$[0,h_0]$。同样，$k(x)$连续且恒不为0，因此在定义域上要么恒正，要么恒负。

步骤2：利用最值导出矛盾 #

因为$f$在闭区间$[0,1]$上连续，根据最值定理，$f$必然存在最大值$M$，设$M = f(c)$，其中$c \in [0,1]$。
由于$f(0)=f(1)=0$，如果$M=0$，说明$f$是恒为0的常数函数，此时任意$h \in [0,1]$都属于$A$（随便取一个$x$就能满足$f(x+h)=f(x)=0$），这和我们假设的“存在$h_0$不在$A\cup B$中”矛盾，所以$M>0$，且$c \in (0,1)$。

现在分两种情况讨论：

1. 情况1：$c + h_0 \leq 1$
   根据式(1)，$f(c+h_0) > f(c) = M$，这直接和$M$是$f$的最大值矛盾——不可能存在函数值比最大值还大。

2. 情况2：$c + h_0 > 1$
   此时$c > 1 - h_0$，我们令$x_0 = c - (1 - h_0) = c + h_0 - 1$，可以看到$x_0 > 0$（因为$c + h_0 >1$），且$x_0 \leq h_0$（因为$c \leq1$，所以$x_0 = c + h_0 -1 \leq 1 + h_0 -1 = h_0$），也就是说$x_0$在$k(x)$的定义域$[0,h_0]$内。

   先看$k(x)$的符号：

   • 取$x=0$代入式(1)，得$f(h_0) > f(0)=0$，所以$k(h_0) = f(1) - f(h_0) = 0 - f(h_0) < 0$；
   • 取$x=1-h_0$代入式(1)，得$f(1) > f(1-h_0)$，即$0 > f(1-h_0)$，所以$k(0) = f(1-h_0) - f(0) = f(1-h_0) < 0$。

   由于$k(x)$连续且恒不为0，结合$k(0)$和$k(h_0)$都小于0，可知$k(x)$在$[0,h_0]$上恒负。那么对于$x_0$，有：
   $$k(x_0) = f(x_0 + 1 - h_0) - f(x_0) = f(c) - f(x_0) < 0$$
   也就是$M - f(x_0) < 0$，即$f(x_0) > M$，这又和$M$是$f$的最大值矛盾。

两种情况都导出了矛盾，说明我们最开始的假设“存在$h_0 \notin A\cup B$”是错误的。因此，所有$h \in [0,1]$都属于$A\cup B$，即$A\cup B=[0,1]$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者razvanelda