请求解释“任意滤子含于某个超滤子”的证明过程

嘿，下面是整理好的滤子扩张为超滤子的定理及证明，用标准Markdown格式呈现：

定理陈述 #

设$F$为滤子，则存在超滤子$U$，使得$F\subset U$

符号与术语说明 #

• $Flt^+(M) = {F: F $是$M$中的半滤子（semi-filter）$}$
  • 这里的半滤子是葡萄牙语“quase-filtro”的直译，指允许包含空集的滤子（注：目前不确定该术语在英文标准集合论术语中是否对应“semi-filter”，暂时保留这个译法）

证明过程 #

设$\mathscr{F}$是集合$M$上的滤子，取$S \subset M$且$S \notin \mathscr{F}$。我们先定义集合：
$$\mathscr{A}={X \in Flt^+(M): S\notin X \text{ 且 } X \supset \mathscr{F} }$$

首先可以验证，$\mathscr{A}$在集合包含关系下是一个归纳序集。根据佐恩引理（Zorn's lemma），$\mathscr{A}$中必然存在一个极大元$\mathscr{G}$，显然$\mathscr{G}$包含原滤子$\mathscr{F}$。

接下来要证明这个极大元$\mathscr{G}$是超滤子。我们先回忆超滤子的一个核心等价判定条件：

$U$是超滤子 $\iff$ 对任意集合$A,B \subset M$，若$A\cup B \in U$，则$A\in U$ 或 $B\in U$

（补充完整证明思路：假设$\mathscr{G}$不是超滤子，那么存在某个集合$A \subset M$，使得$A \notin \mathscr{G}$且$M\setminus A \notin \mathscr{G}$。我们构造$\mathscr{G}' = { X \subset M \mid \exists G \in \mathscr{G}, G \cap A \subset X }$，这个集合会是包含$\mathscr{G}$且不包含$S$的半滤子，这与$\mathscr{G}$是$\mathscr{A}$的极大元矛盾，因此$\mathscr{G}$必须是超滤子）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Matheus barros castro