具有无理周期且周期积分零的连续函数，其正整数点级数能否发散到无穷？

答案是肯定的，这样的函数确实存在——即便函数的周期是无理数、积分均值为0，它在正整数点上的取值之和也能发散到正无穷。

核心思路：利用均匀分布构造“偏向性”函数 #

我们知道，对于无理数$\xi$，序列${n \mod \xi}_{n=1}^\infty$在区间$[0, \xi)$上是均匀分布的（Weyl均匀分布定理）。但均匀分布只是说长期来看每个小区间的访问频率均等，并不限制我们构造一个函数，让它在某个小区域内取足够大的正值，而在其余区域取刚好抵消积分的小负值，同时让正整数点频繁落入这个正区域，使得正值的累积速度远超负值的抵消速度。

具体构造例子 #

我们可以这样构造连续周期函数$f$：

1. 取无理周期$\xi$，定义$f(x) = g(x \mod \xi)$，其中$g$是$[0, \xi)$上的连续函数，满足$\int_0^\xi g(x)dx = 0$。
2. 构造一列递减的区间$I_k = [0, \varepsilon_k)$，其中$\varepsilon_k \to 0$，且$\sum_{k=1}^\infty \varepsilon_k = \infty$（比如取$\varepsilon_k = 1/k$）。
3. 在每个$I_k$上，让$g(x)$取正值$k$；在$[0, \xi) \setminus I_k$上，让$g(x)$取负值$- \frac{k \varepsilon_k}{\xi - \varepsilon_k}$——这样$g$的积分刚好为0：
   $$
   \int_0^\xi g(x)dx = k \cdot \varepsilon_k + \left(-\frac{k \varepsilon_k}{\xi - \varepsilon_k}\right) \cdot (\xi - \varepsilon_k) = 0
   $$
4. 将$g$平滑化，确保它在$I_k$的边界处连续（比如用线性过渡或者光滑 bump 函数），这样$f$就是连续的周期函数。

由于${n \mod \xi}$均匀分布，对于每个$k$，会有无穷多个正整数$n$使得$n \mod \xi \in I_k$。而且因为$\sum \varepsilon_k = \infty$，这些“正贡献”的点足够密集，每次进入$I_k$时$f(n)=k$，而负值的总和增长速度远慢于正值的累积，最终级数$\sum_{n=1}^\infty f(n)$就会发散到$\infty$。

对比$\sin x$的情况 #

你提到$\sin x$的部分和有界，这是因为$\sin x$是有界振幅的周期函数，且其正整数点的取值正负交替的“平衡性”更好，不会出现某一侧贡献持续远超另一侧的情况。而我们构造的函数通过刻意让局部正值足够大、且正整数点频繁落入该区域，打破了这种平衡。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者tuna