如何绘制复数集合$\{z\in \mathbb{C}\mid |z| > \Re(z)-2\}$

嘿，我们来一步步拆解这个问题，其实比你想的简单～

先把复数 z 写成代数形式 z = x + yi，其中 x = Re(z)（实部），y 是虚部，x 和 y 都是实数。这样：

• 复数的模 |z| = √(x² + y²)
• 原不等式 |z| > Re(z) - 2 就转化为：

  √(x² + y²) > x - 2
  

我们按右边 x - 2 的正负性来讨论：

• 当 x ≤ 2 时：
  此时 x - 2 ≤ 0，而左边的模长 √(x² + y²) 是个非负数（不可能为负）。非负数肯定大于等于0，自然也大于任何负数或0，所以这个区域里的所有点都满足不等式。

• 当 x > 2 时：
  此时 x - 2 是正数，我们可以给不等式两边同时平方（两边都是正数，不等号方向不变）：

  x² + y² > (x - 2)²
  

  展开右边的平方项：(x-2)² = x² - 4x + 4，代入后化简：

  x² + y² > x² - 4x + 4
  

  消去两边的 x²，得到：

  y² > -4x + 4
  

  现在看右边：当 x > 2 时，-4x + 4 = -4(x-1) 是个负数（因为 x-1 >1，乘以-4后小于-4），而左边 y² 是非负数（平方数不可能为负）。非负数必然大于负数，所以这个区域里的所有点也都满足不等式。

把两种情况合起来看，所有复数 z 都满足这个不等式——也就是说你要绘制的集合就是整个复平面（以x轴为实轴、y轴为虚轴的完整坐标系）。

换个更直观的角度理解：对于任何复数，它的模长 |z| 一定大于等于它的实部的绝对值 |Re(z)|，而 |Re(z)| ≥ Re(z)，所以 |z| ≥ Re(z)，显然 Re(z) > Re(z)-2，因此 |z| > Re(z)-2 对所有复数都成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jarek N