佐里奇《分析学》中集合笛卡尔积的定义是否存在错误？

书中指出：我们可验证，当$x \in X$且$y \in Y$时，有序对$(x, y)$确实构成集合，即$$X \times Y := \left{ p\in\mathcal{P}\left(\mathcal{P}\left(X\right)\cup\mathcal{P}\left(Y\right)\right)\mid\left(p=\left(x,y\right)\wedge\left(x\in X\right)\wedge\left(y\in Y\right)\right)\right}$$

我认为这个定义里的**$p \in \mathcal{P}\left(\mathcal{P}\left(X\right)\cup\mathcal{P}\left(Y\right)\right)$**表述存在问题，下面用一个极简的例子来直观验证：

示例验证步骤 #

• 取基础集合：$X = {a}$，$Y = {b}$（两个单元素集合，是最容易验证的非空情况）
• 计算幂集：
  • $\mathcal{P}(X) = {\emptyset, {a}}$
  • $\mathcal{P}(Y) = {\emptyset, {b}}$
• 求幂集的并集：$\mathcal{P}(X) \cup \mathcal{P}(Y) = {\emptyset, {a}, {b}}$
• 计算并集的幂集$\mathcal{P}(\mathcal{P}(X) \cup \mathcal{P}(Y))$，它的所有元素为：
  $${\emptyset, {\emptyset}, {{a}}, {{b}}, {\emptyset, {a}}, {\emptyset, {b}}, {{a}, {b}}, {\emptyset, {a}, {b}}}$$

现在看有序对$(a,b)$的Kuratowski标准定义：$(a,b) = {{a}, {a,b}}$。对比上面的幂集元素可以发现，${{a}, {a,b}}$并不在$\mathcal{P}(\mathcal{P}(X) \cup \mathcal{P}(Y))$的元素列表里——因为${a,b}$根本不是$\mathcal{P}(X) \cup \mathcal{P}(Y)$的成员，所以这个子集不可能出现在外层的幂集中。

这就直接证明原定义的集合归属条件是错误的。正确的归属范围应该是让$p$属于$\mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y))$（因为$X \cup Y$包含$a$和$b$，其幂集会包含${a}$和${a,b}$，外层幂集自然会包含${{a}, {a,b}}$），或者其他能覆盖有序对所有元素的幂集结构，而非原表述中的$\mathcal{P}(\mathcal{P}(X) \cup \mathcal{P}(Y))$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者duqu