求助证明：x>1∈ℚ、A∈ℚ时存在整数n使xⁿ>A（禁用上确界性质）

嘿，你的思路完全找对路子了——这个命题确实能通过有理数的阿基米德性质来证明，而且完全不用碰实数的上确界性质，正好契合你的需求。下面是一步步的严谨证明：

首先明确我们要用到的有理数域核心性质（都属于有序域的定义范畴）：

• ℚ是有序域：对任意a,b,c∈ℚ，若a>b则a+c>b+c；若a>b且c>0则ac>bc。
• ℚ的阿基米德性质：对任意正有理数a,b，存在正整数n使得n·a > b。

步骤1：将x转化为便于放缩的形式 #

因为x>1且x∈ℚ，我们可以把x表示为两个正整数的比值：x = p/q，其中p,q是正整数，且p>q（毕竟x>1，分子必然大于分母）。
令d = (p - q)/q，显然d是正有理数（p-q>0，q>0），那么x可以改写为：
x = 1 + d，其中d>0且d∈ℚ。

步骤2：用数学归纳法证明关键不等式 #

对于任意正整数n，我们可以证明(1 + d)ⁿ ≥ 1 + n·d（这个不等式完全在有理数域内成立，不需要依赖实数）：

• 基例n=1：(1+d)¹ = 1+d = 1+1·d，不等式显然成立。
• 归纳假设：假设对某个正整数k，(1+d)ᵏ ≥ 1 + k·d成立。
• 归纳步骤：
  (1+d)ᵏ⁺¹ = (1+d)ᵏ·(1+d) ≥ (1 + k·d)(1+d) = 1 + (k+1)d + k·d²
  因为d>0，所以k·d²>0，因此(1+d)ᵏ⁺¹ ≥ 1 + (k+1)d，不等式得证。

步骤3：分情况应用阿基米德性质 #

针对任意给定的A∈ℚ，我们分两种情况讨论：

• 情况1：A ≤ 1
  直接取n=1，因为x>1≥A，所以x¹ = x > A，满足条件。
• 情况2：A > 1
  此时A - 1是正有理数，d也是正有理数。根据ℚ的阿基米德性质，存在正整数n使得n·d > A - 1。
  结合步骤2的不等式，我们有：
  xⁿ = (1+d)ⁿ ≥ 1 + n·d > 1 + (A - 1) = A
  即xⁿ > A，满足条件。

综上，无论A是哪个有理数，都存在正整数n使得xⁿ > A，命题得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bud