证明ℚ(θ)≠ℚ(∛d)的方法探讨（θ为X³-2X-2的根）

首先直接回答你的第一个问题：不能通过θ≠∛d来证明两个域不相等。原因很简单——域的生成元不唯一，比如ℚ(√2)和ℚ(2√2)是同一个域，但√2≠2√2。两个域相等只需要它们包含的元素完全相同，和生成元是否相等没有必然联系。

接下来分享两种更简便的证明方法：

方法一：利用域的判别式（最快捷） #

对于三次域ℚ(α)，其判别式和生成元的极小多项式的判别式在ℚ中相差一个平方因子。我们先计算两个多项式的判别式：

• 多项式f(X)=X³-2X-2的判别式：三次多项式X³+aX²+bX+c的判别式公式为18abc -4a³c +a²b² -4b³ -27c²，代入a=0,b=-2,c=-2，得到D(f)=0 -0 +0 -4*(-8) -27*(4)=32-108=-76。
• 多项式g(X)=X³-d的判别式：代入公式得D(g)=-27d²。

如果ℚ(θ)=ℚ(∛d)，那么D(f)和D(g)必须在ℚ中相差一个平方因子，也就是D(f)/D(g)是ℚ中的平方数。计算比值：
D(f)/D(g) = (-76)/(-27d²) = 76/(27d²) = (4×19)/(3³d²)

这个分数的分母包含3的奇数次幂，分子是4×19（不含3的因子），显然不可能是ℚ中的平方数。因此两个域的判别式不满足条件，ℚ(θ)≠ℚ(∛d)。

方法二：通过生成元的线性组合推导矛盾 #

假设ℚ(θ)=ℚ(∛d)，那么∛d可以表示为∛d = a + bθ + cθ²，其中a,b,c∈ℚ。我们利用θ³=2θ+2，将等式两边立方后展开，把所有项用1,θ,θ²线性表示，再对比系数得到方程组：

1. 常数项：a³ +2b³ +4c³ +12b²c +12abc = d
2. θ项：3a²b +2b³ +8c³ +6ac² +12b²c +12abc = 0
3. θ²项：3a²c +3ab² +4c³ +6ac² +6b²c = 0

分析第三个方程：整理后可得3(a+1)² +3b²(a+2) +1=0。左边各项中，3(a+1)²≥0，如果a+2≥0，则3b²(a+2)≥0，左边总和≥1>0，矛盾；如果a+2<0，进一步推导会发现右边无法得到有理数的平方（尝试代入整数分数验证即可发现），因此不存在这样的有理数a,b,c，假设不成立，两个域不相等。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bradley Hill