如何证明：对于$x \in [x_{i-1}, x_i]$，$\sup f(x)^2 = (\sup|f(x)|)^2$

嘿，你想到的两边互相大于等于的思路完全是对的，只是可能在细节上没打通，我来一步步拆解这个证明：

第一步：证明 $\sup f(x)^2 \leq (\sup|f(x)|)^2$ #

首先，对区间 $[x_{i-1},x_i]$ 内的任意 $x$，都有 $f(x)^2 = |f(x)|^2$（平方后正负号会消失）。

根据上确界的定义，$\sup|f(x)|$ 是 $|f(x)|$ 的最小上界，所以对任意 $x$ 都满足：
$$|f(x)| \leq \sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} |f(x)|$$
因为两边都是非负数，平方后不等号方向不变，得到：
$$|f(x)|^2 \leq \left( \sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} |f(x)| \right)^2$$
也就是 $f(x)^2 \leq \left( \sup|f(x)| \right)^2$。

这说明 $\left( \sup|f(x)| \right)^2$ 是 $f(x)^2$ 的一个上界，而上确界是最小的上界，因此必然有：
$$\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)^2 \leq \left( \sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} |f(x)| \right)^2$$

第二步：证明 $\sup f(x)^2 \geq (\sup|f(x)|)^2$ #

这里要用上确界的核心性质：对于任意小的正数 $\varepsilon > 0$，总能在区间 $[x_{i-1},x_i]$ 里找到某个点 $x_0$，使得：
$$|f(x_0)| > \sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} |f(x)| - \varepsilon$$
（这是因为上确界是最小上界，不存在比它更小的上界，所以不管 $\varepsilon$ 多小，都能找到接近上确界的函数值）

同样，两边都是非负数，平方后得到：
$$|f(x_0)|^2 > \left( \sup|f(x)| - \varepsilon \right)^2$$
而 $|f(x_0)|^2 = f(x_0)^2$，所以：
$$f(x_0)^2 > \left( \sup|f(x)| - \varepsilon \right)^2$$

又因为 $\sup f(x)^2$ 是 $f(x)^2$ 的上确界，它必然大于等于区间内任意一点的函数值，所以：
$$\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)^2 \geq f(x_0)^2 > \left( \sup|f(x)| - \varepsilon \right)^2$$

现在，$\varepsilon$ 是任意大于0的数，当 $\varepsilon$ 趋近于0时，$\left( \sup|f(x)| - \varepsilon \right)^2$ 会无限接近 $\left( \sup|f(x)| \right)^2$。而 $\sup f(x)^2$ 是一个固定的数，它大于所有 $\left( \sup|f(x)| - \varepsilon \right)^2$，因此必然满足：
$$\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)^2 \geq \left( \sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} |f(x)| \right)^2$$

结论 #

结合第一步和第二步的结果，我们得到：
$$\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)^2 = \left( \sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} |f(x)| \right)^2$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user462562