《具体数学》求和闭式推导错误排查求助

这是来自《具体数学》的一道题目，我想求出这个求和式的闭式表达式。自己试着推导了一个结果，但拿不同的$n$值验证时发现不对，希望能得到大家的帮助！（推导内容有点长，要是哪一步讲得不清楚，我会再补充解释细节）

先明确一下符号定义：

• $\lg(k)$ 指的是二进制对数
• $\lceil k\rceil$ 是常规的上取整函数
• $\lfloor k\rfloor$ 是常规的下取整函数

我的推导过程如下：
$$\sum_{k=1}^n \lceil \lg(k)\rceil = \sum_{k,m \ge 0} m[1 \le k\le n][m = \lceil \lg(k)\rceil ] = \sum_{k,m \ge 0} m[1 \le k\le n][m-1 \lt \lg(k) \le m]$$
$$=\sum_{k,m \ge 0} m[1 \le k\le n][2^{m-1} \lt k \le 2^m]$$
$$=\sum_{k,m \ge 0} m[2^{m-1} \lt k \le 2^m \le n] + \sum_{k,m \ge 0} m[2^{m-1} \lt k \le n \lt 2^m]$$

（注：最后一行推导尚未完成，后续会补充完整）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Francisco José Letterio