求含三重整数根的整系数五次多项式的系数a,b,c及根

问题描述 #

求整系数多项式$f(x)=ax^5+3x4+bx^3+4x2+3x+c$的系数$a$、$b$、$c$及其所有根，已知该多项式存在一个三重整数根。

你的思路完全正确！接下来我们把两种情况的计算过程完整落地： #

首先你已经精准推导：如果$k$是$f(x)$的三重整数根，那么$k$必须满足$f(k)=0$、$f'(k)=0$、$f''(k)=0$；结合整系数多项式整数根的性质，$k$要整除$f'(x)$的常数项3、$f''(x)$的常数项8，因此$k$的可能取值仅为$\pm1$。

情况1：三重根$k=1$

将$x=1$代入三个式子：

1. $f(1)=a + 3 + b + 4 + 3 + c = 0$ → $a + b + c = -10$ ①
2. $f'(1)=5a + 12 + 3b + 8 + 3 = 0$ → $5a + 3b = -23$ ②
3. $f''(1)=20a + 36 + 6b + 8 = 0$ → 化简得$10a + 3b = -22$ ③

用③ - ②消去$b$：
$(10a + 3b) - (5a + 3b) = -22 - (-23)$
$5a = 1$ → $a=\frac{1}{5}$

但题目明确要求$f(x)$是整系数多项式，$a$必须为整数，因此该情况无解，直接排除。

情况2：三重根$k=-1$

将$x=-1$代入三个式子：

1. $f(-1)=-a + 3 - b + 4 - 3 + c = 0$ → $-a - b + c = -4$ ④
2. $f'(-1)=5a - 12 + 3b - 8 + 3 = 0$ → $5a + 3b = 17$ ⑤
3. $f''(-1)=-20a + 36 - 6b + 8 = 0$ → 化简得$10a + 3b = 22$ ⑥

用⑥ - ⑤消去$b$：
$(10a + 3b) - (5a + 3b) = 22 - 17$
$5a = 5$ → $a=1$

把$a=1$代入⑤：
$5×1 + 3b =17$ → $b=4$

再把$a=1$、$b=4$代入④：
$-1 -4 + c = -4$ → $c=1$

得到整系数多项式：$f(x)=x^5+3x4+4x^3+4x2+3x+1$

接下来因式分解验证：已知$x=-1$是三重根，因此可写成$f(x)=(x+1)^{3·g(x)$，其中$g(x)$为二次整系数多项式。展开$(x+1)}3(x^{2+nx+p)$并与原多项式对比系数，可得$g(x)=x}2+1$，因此：
$$f(x)=(x+1)^3(x2+1)$$

它的所有根为：

• 三重实根：$x=-1$
• 一对共轭复数根：$x=i$、$x=-i$

最终结论 #

• 系数：$a=1$，$b=4$，$c=1$
• 所有根：$x=-1$（三重根）、$x=i$、$x=-i$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者i dont know much about algebra