独立同均匀分布序列的最小与最大值联合分布求解验证

首先得说，你原来的联合分布函数推导逻辑有问题哦——m和M不是独立事件，不能直接拆成$P(m<s)P(M<t)1_{m≠M}$这种形式，这是错误的根源。咱们重新来推导正确的结果：

步骤1：正确推导联合分布函数$F_{m,M}(s,t)=P(m≤s, M≤t)$ #

分情况讨论：

• 当$0 ≤ s ≤ t ≤ 1$时：
  $P(m≤s, M≤t)$表示所有$X_i$都不超过t，且至少有一个$X_i$不超过s。等价于「所有$X_i$≤t」减去「所有$X_i$在(s,t]之间」，即：
  $$
  F_{m,M}(s,t) = P(M≤t) - P(m>s, M≤t) = t^n - (t-s)^n
  $$
• 当$s > t$时：
  此时「$M≤t$」必然满足「$m≤s$」（因为m≤M≤t<s），所以：
  $$
  F_{m,M}(s,t) = P(M≤t) = t^n
  $$
• 当$s<0$或$t<0$时，概率为0；当$t>1$时，若$s≥1$则概率为1，若$s<1$则概率为$1-(1-s)^n$。

步骤2：求联合概率密度$f_{m,M}(s,t)$ #

对联合分布函数求关于s和t的二阶混合偏导：
仅在$0 < s < t < 1$的区域内，密度非零：
$$
f_{m,M}(s,t) = \frac{\partial^2}{\partial s \partial t}F_{m,M}(s,t) = \frac{\partial}{\partial s}\left[nt^{n-1} - n(t-s)^{n-1}\right] = n(n-1)(t-s)^{n-2}
$$
对比你得到的$n^2s{n-1}t^{{n-1}$，显然是错误的——比如取n=2时，正确密度是2（在0<s<t<1区域），而你的结果是4st，积分后总概率为$\int_0}1\int_0^t4st\ dsdt = \frac{1}{2}≠1$，不符合概率密度的归一性。

步骤3：判断M与m的独立性 #

先求边缘密度：

• $m$的边缘密度：$f_m(s) = \frac{d}{ds}P(m≤s) = \frac{d}{ds}\left[1-(1-s)^n\right] = n(1-s)^{n-1}$，其中$0<s<1$
• $M$的边缘密度：$f_M(t) = \frac{d}{dt}P(M≤t) = nt^{n-1}$，其中$0<t<1$

独立性要求$f_{m,M}(s,t)=f_m(s)f_M(t)$对所有s,t成立，但显然：
$$
n(n-1)(t-s)^{n-2} ≠ n^2(1-s){n-1}t^{n-1}
$$
比如取n=2，s=0.2，t=0.5：左边=2，右边=4*(0.8)*(0.5)=1.6≠2，因此M和m不独立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Michalina