S⁴上定向线性S²丛全空间：旋性判定与第一Pontryagin类问询

咱们来逐个拆解你关心的这两个问题：

1. 所有此类丛的全空间是否均为旋流形？ #

答案是是的，所有S⁴上定向线性S²丛的全空间都是旋流形（即w₂=0）。

具体理由如下：

• 这类定向S²丛由π₃(SO(3))=ℤ分类，每个整数k对应一个丛E_k。
• 旋流形的核心判定条件是切丛的第二施蒂费尔-惠特尼类w₂=0。对于丛的全空间E_k，它的切丛可分解为：T_{E_k} ≅ π^*T_{S⁴} ⊕ T_{E_k/S⁴}（底空间切丛的拉回 + 垂直纤维的切丛）。
• 底空间S⁴本身就是旋流形，它的w₂(T_{S⁴})=0，拉回后w₂(π^*T_{S⁴})自然也为0；垂直纤维是S²，每个纤维的切丛w₂都为0，作为E_k上的丛，垂直切丛的w₂同样是0。
• 两个w₂=0的向量丛直和的w₂依然是0，因此w₂(T_{E_k})=0，所有E_k都是旋流形。

2. 它们的第一Pontryagin类分别是什么？ #

第一Pontryagin类p₁的取值和分类整数k直接对应：

• 对应分类整数k的丛E_k，它的第一Pontryagin类为 p₁(E_k) = -4k。
• 结合你给出的例子验证：
  • 平凡丛对应k=0，此时p₁=0，和已知结论一致；
  • ℂℙ³对应k=1，代入得p₁=-4×1=-4，也完全匹配。

这个规律的本质是：分类映射f_k:S⁴→BSO(3)（对应整数k）拉回BSO(3)上的第一Pontryagin类生成元时，映射度恰好对应系数-4，因此整体取值为-4k。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者somebody trivial