如何由参数化曲线求法向量与副法向量？已得切向量导数相关结果

嘿，我来帮你梳理这个问题——首先咱们先核对下你的计算，然后一步步解决法向量和副法向量的求解问题：

1. 先确认切向量 ( \mathbf{T}(t) ) 的正确性 #

首先，我们得从原曲线的导数开始算，因为切向量是原导数的单位化形式：
原曲线导数：
[
\mathbf{r}'(t) = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(t), -\frac{1}{2}\sin(t), -\sin\left(\frac{t}{2}\right) \right)
]
计算它的模长时，用三角恒等式化简会发现惊喜：
利用 ( 1+\cos t = 2\cos^2\frac{t}{2} )、( \sin t = 2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2} )，代入模长公式：
[
|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{\left( \frac{1+\cos t}{2} \right)^2 + \left( -\frac{\sin t}{2} \right)^2 + \left( -\sin\frac{t}{2} \right)^2} = \sqrt{\cos^4\frac{t}{2} + \sin^{2\frac{t}{2}\cos}2\frac{t}{2} + \sin^2\frac{t}{2}}
]
再用 ( \cos^2x + \sin^2x = 1 ) 化简，最终得到 ( |\mathbf{r}'(t)| = 1 )！也就是说原曲线的导数本身就是单位切向量，即 ( \mathbf{T}(t) = \mathbf{r}'(t) )，这一步你之前可能没验证，但不影响你后续 ( \mathbf{T}'(t) ) 的计算——你的 ( \mathbf{T}'(t) ) 结果是对的！

2. 关于 ( |\mathbf{T}'(t)| ) 的化简 #

你计算的 ( |\mathbf{T}'(t)| = \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)} ) 完全正确，这个表达式确实没法用基础三角恒等式再化简成更简洁的形式，但这完全不影响我们求法向量和副法向量——直接用这个表达式代入定义就行。

3. 求法向量 ( \mathbf{N}(t) ) #

法向量的定义是单位化的曲率向量，也就是：
[
\mathbf{N}(t) = \frac{\mathbf{T}'(t)}{|\mathbf{T}'(t)|}
]
代入你的结果：
[
\mathbf{N}(t) = \frac{\left( -\frac{1}{2}\sin(t),-\frac{1}{2}\cos(t),-\frac{1}{2}\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right)}{\frac{1}{2}\sqrt{1 + \cos^2\frac{t}{2}}} = -\frac{\left( \sin t, \cos t, \cos\frac{t}{2} \right)}{\sqrt{1 + \cos^2\frac{t}{2}}}
]
（注：法向量的方向可以取相反方向，只要满足单位长度且垂直于 ( \mathbf{T}(t) ) 就没问题）

4. 求副法向量 ( \mathbf{B}(t) ) #

副法向量是切向量和法向量的叉积，即 ( \mathbf{B}(t) = \mathbf{T}(t) \times \mathbf{N}(t) )。不过为了计算方便，我们也可以用 ( \mathbf{B}(t) = \frac{\mathbf{T}(t) \times \mathbf{T}'(t)}{|\mathbf{T}'(t)|} )，直接代入计算：

先算 ( \mathbf{T}(t) \times \mathbf{T}'(t) )（用行列式展开）：
[
\mathbf{T} \times \mathbf{T}' = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
\frac{1+\cos t}{2} & -\frac{\sin t}{2} & -\sin\frac{t}{2} \
-\frac{\sin t}{2} & -\frac{\cos t}{2} & -\frac{\cos\frac{t}{2}}{2}
\end{vmatrix}
]
利用三角恒等式化简每个分量后，得到：
[
\mathbf{T} \times \mathbf{T}' = \left( \frac{\sin\frac{t}{2}}{4}, -\frac{\cos\frac{t}{2}\cos t}{2}, -\frac{\cos^2\frac{t}{2}}{2} \right)
]
再除以 ( |\mathbf{T}'(t)| = \frac{1}{2}\sqrt{1+\cos^2\frac{t}{2}} )，最终得到：
[
\mathbf{B}(t) = \frac{\left( \sin\frac{t}{2}, -2\cos\frac{t}{2}\cos t, -2\cos^2\frac{t}{2} \right)}{2\sqrt{1+\cos^2\frac{t}{2}}}
]

最后总结 #

你的 ( \mathbf{T}'(t) ) 和 ( |\mathbf{T}'(t)| ) 计算完全正确，不用纠结根号内的表达式没法化简——很多曲线的曲率相关表达式就是没法进一步简化的，直接代入定义求解法向量和副法向量就可以了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者NoteBook