向量空间线性应用习题求解：自同态f的单射满射、逆矩阵及可对角化证明
我来一步步帮你拆解这个关于向量空间自同态的习题，三个任务逐个梳理：
任务1：证明f是单射且满射
首先证单射：假设对于向量$v,w\in V$，有$f(v)=f(w)$。根据题目给出的条件$f(f(x))=4x$对任意$x\in V$成立，我们对等式两边同时作用$f$，得到$f(f(v))=f(f(w))$，也就是$4v=4w$。两边除以4（实数域上可操作），直接得到$v=w$，所以$f$是单射。
再证满射：对于任意的$u\in V$，我们找一个向量$v\in V$使得$f(v)=u$。根据条件，取$v=\frac{1}{4}f(u)$，那么计算$f(v)$：
$$f(v)=f\left(\frac{1}{4}f(u)\right)=\frac{1}{4}f(f(u))=\frac{1}{4}\times4u=u$$
这就说明对任意$u$都存在对应的$v$，$f$是满射。
另外补充个小知识点：在有限维向量空间中，线性映射的单射和满射是等价的，所以其实只要证了单射，满射自然成立，不过上面的直接构造更直观~
任务2：计算f在任意基下对应矩阵的逆矩阵
设$A$是$f$在任意一组基下对应的矩阵，线性映射的复合对应矩阵的乘法，题目中的条件$f(f(v))=4v$翻译成矩阵语言就是：
$$A^2=4I$$
其中$I$是单位矩阵。现在我们要找$A$的逆矩阵，也就是找一个矩阵$B$使得$AB=BA=I$。
对$A^2=4I$两边同时乘以$\frac{1}{4}$，得到：
$$A\times\left(\frac{1}{4}A\right)=I$$
这就说明$\frac{1}{4}A$就是$A$的逆矩阵，也就是$f$对应的矩阵的逆矩阵是其自身的$\frac{1}{4}$倍。
任务3：验证f是否可对角化
我们可以从特征子空间的直和分解和极小多项式性质两个角度来证明$f$可对角化：
角度1：特征子空间的直和分解
首先求$f$的特征值：设$\lambda$是$f$的一个特征值，$v\neq0$是对应的特征向量，那么$f(v)=\lambda v$。对这个等式两边再作用$f$，得到：
$$f(f(v))=f(\lambda v)=\lambda f(v)=\lambda^2 v$$
而根据题目条件$f(f(v))=4v$，所以$\lambda^2 v=4v$。因为$v\neq0$，所以$\lambda^2=4$，即特征值只能是$\lambda=2$或者$\lambda=-2$。
接下来证明$V$可以分解为这两个特征值对应的特征子空间的直和：
对任意$v\in V$，我们构造两个向量：
$$v_1=\frac{1}{2}\left(v+\frac{1}{2}f(v)\right),\quad v_2=\frac{1}{2}\left(v-\frac{1}{2}f(v)\right)$$
计算$f(v_1)$：
$$f(v_1)=\frac{1}{2}\left(f(v)+\frac{1}{2}f(f(v))\right)=\frac{1}{2}\left(f(v)+\frac{1}{2}\times4v\right)=\frac{1}{2}(f(v)+2v)=2\times\frac{1}{2}\left(v+\frac{1}{2}f(v)\right)=2v_1$$
同理计算$f(v_2)$：
$$f(v_2)=\frac{1}{2}\left(f(v)-\frac{1}{2}f(f(v))\right)=\frac{1}{2}\left(f(v)-\frac{1}{2}\times4v\right)=\frac{1}{2}(f(v)-2v)=-2\times\frac{1}{2}\left(v-\frac{1}{2}f(v)\right)=-2v_2$$
这说明$v_1\in V_2$（对应特征值2的特征子空间），$v_2\in V_{-2}$（对应特征值-2的特征子空间），且$v=v_1+v_2$。
再证明$V_2\cap V_{-2}={0}$：假设$w\in V_2\cap V_{-2}$，那么$f(w)=2w$且$f(w)=-2w$，所以$2w=-2w$，即$4w=0$，在实数域上$w=0$。
因此$V=V_2\oplus V_{-2}$，这意味着$f$可以在由$V_2$和$V_{-2}$的基拼接成的基下对角化，对角矩阵的元素就是2和-2。
角度2：极小多项式的性质
线性映射可对角化的充要条件是其极小多项式在基域上可以分解为互不相同的一次因式的乘积。
题目中$f$满足$f2-4\mathrm{id}_V=0$（$\mathrm{id}_V$是恒等映射），所以极小多项式$m(x)$是$x2-4$的因式。而$x^2-4=(x-2)(x+2)$，在实数域上是两个不同的一次因式的乘积，没有重根，因此$f$可对角化。
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