关于推导δ(ax)=1/|a|δ(x)时变量替换选择的疑问

首先回顾问题背景：我们基于狄拉克δ函数的积分定义
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)f(x)dx = f(0) \tag1$$
来证明缩放性质 $\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x)$ 时，常见推导选用了变量替换 $u=|a|x$，得到：
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(ax)f(x)dx = \frac{1}{|a|}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(\pm u)f\biggl(\frac{u}{|a|}\biggl) du= \frac{1}{|a|}f(0) \tag3$$
你理解推导逻辑，但疑惑为何不选看似更“自然”的 $u=ax$，其实核心原因是统一处理正负$a$的情况，避免分情况讨论的繁琐和符号错误。

我们先拆解用 $u=ax$ 的场景：

• 当 $a>0$ 时，替换后 $du=adx$，积分上下限保持 $-\infty$ 到 $+\infty$，积分变为：
  $$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(u)f\left(\frac{u}{a}\right)\cdot\frac{du}{a} = \frac{1}{a}f(0)$$
  此时 $|a|=a$，结果符合预期。
• 当 $a<0$ 时，替换后 $du=adx$，但x从 $-\infty$ 到 $+\infty$ 对应u从 $+\infty$ 到 $-\infty$，积分上下限反转，积分变为：
  $$\int_{+\infty}^{-\infty}\delta(u)f\left(\frac{u}{a}\right)\cdot\frac{du}{a} = -\frac{1}{a}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(u)f\left(\frac{u}{a}\right)du$$
  因为a是负数，$-\frac{1}{a}=\frac{1}{|a|}$，结果也符合预期，但这里需要额外处理积分上下限反转的负号，容易出错。

而选用 $u=|a|x$ 的优势在于：

1. 统一覆盖所有实数$a≠0$的情况：不管$a$是正还是负，$ax$都可以写成$\pm u$（正$a$对应$+u$，负$a$对应$-u$），再利用δ函数的偶函数性质 $\delta(-u)=\delta(u)$，直接把两种情况合并成一个表达式，推导过程无需分情况，更连贯简洁。
2. 规避符号陷阱：很多初学者在处理$a<0$的情况时，容易忽略积分上下限反转带来的负号，导致推导出错。用$u=|a|x$可以跳过这个容易踩坑的步骤，让推导更顺畅。

本质上，$u=ax$ 完全可行，只是需要分情况讨论；而$u=|a|x$是一种更巧妙的选择，能一次性完成所有情况的推导，降低出错概率。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Premez